Resolver {l}{0.3x+y=4.8}{x-y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.3 x + y = 4.8 } \\ { x - y = 11 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{158}{13} = 12\frac{2}{13} \approx 12.153846154$$

$$y = \frac{15}{13} = 1\frac{2}{13} \approx 1.153846154$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$0.3x+y=4.8,x-y=11$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$0.3x+y=4.8$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$0.3x=-y+4.8$$

Divide ambos lados da ecuación entre 0.3, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=\frac{10}{3}\left(-y+4.8\right)$$

Multiplica \frac{10}{3} por -y+4.8.

$$x=-\frac{10}{3}y+16$$

Substitúe x por -\frac{10y}{3}+16 na outra ecuación, x-y=11.

$$-\frac{10}{3}y+16-y=11$$

Suma -\frac{10y}{3} a -y.

$$-\frac{13}{3}y+16=11$$

Resta 16 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{13}{3}y=-5$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{13}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{15}{13}$$

Substitúe y por \frac{15}{13} en x=-\frac{10}{3}y+16. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{10}{3}\times \frac{15}{13}+16$$

Multiplica -\frac{10}{3} por \frac{15}{13} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{50}{13}+16$$

Suma 16 a -\frac{50}{13}.

$$x=\frac{158}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{158}{13},y=\frac{15}{13}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$0.3x+y=4.8,x-y=11$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4.8\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4.8\\11\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4.8\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4.8\\11\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{0.3\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{0.3\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{0.3\left(-1\right)-1}&\frac{0.3}{0.3\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4.8\\11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{13}&\frac{10}{13}\\\frac{10}{13}&-\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4.8\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{13}\times 4.8+\frac{10}{13}\times 11\\\frac{10}{13}\times 4.8-\frac{3}{13}\times 11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{158}{13}\\\frac{15}{13}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{158}{13},y=\frac{15}{13}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$0.3x+y=4.8,x-y=11$$

Para que \frac{3x}{10} e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 0.3.

$$0.3x+y=4.8,0.3x+0.3\left(-1\right)y=0.3\times 11$$

Simplifica.

$$0.3x+y=4.8,0.3x-0.3y=3.3$$

Resta 0.3x-0.3y=3.3 de 0.3x+y=4.8 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$0.3x-0.3x+y+0.3y=4.8-3.3$$

Suma \frac{3x}{10} a -\frac{3x}{10}. \frac{3x}{10} e -\frac{3x}{10} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$y+0.3y=4.8-3.3$$

Suma y a \frac{3y}{10}.

$$1.3y=4.8-3.3$$

Suma 4.8 a -3.3 mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$1.3y=1.5$$

Divide ambos lados da ecuación entre 1.3, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{15}{13}$$

Substitúe y por \frac{15}{13} en x-y=11. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-\frac{15}{13}=11$$

Suma \frac{15}{13} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{158}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{158}{13},y=\frac{15}{13}$$