Resolver {l}{0.3x+0.1y=0.5}{0.1x-0.3y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.3 x + 0.1 y = 0.5 } \\ { 0.1 x - 0.3 y = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2.5$$

$$y=-2.5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$0.3x+0.1y=0.5,0.1x-0.3y=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$0.3x+0.1y=0.5$$

Resta \frac{y}{10} en ambos lados da ecuación.

$$0.3x=-0.1y+0.5$$

Divide ambos lados da ecuación entre 0.3, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=\frac{10}{3}\left(-0.1y+0.5\right)$$

Multiplica \frac{10}{3} por -\frac{y}{10}+0.5.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}$$

Substitúe x por \frac{-y+5}{3} na outra ecuación, 0.1x-0.3y=1.

$$0.1\left(-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}\right)-0.3y=1$$

Multiplica 0.1 por \frac{-y+5}{3}.

$$-\frac{1}{30}y+\frac{1}{6}-0.3y=1$$

Suma -\frac{y}{30} a -\frac{3y}{10}.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{1}{6}=1$$

Resta \frac{1}{6} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1}{3}y=\frac{5}{6}$$

Multiplica ambos lados por -3.

$$y=-2.5$$

Substitúe y por -2.5 en x=-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-2.5\right)+\frac{5}{3}$$

Multiplica -\frac{1}{3} por -2.5 mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{5}{6}+\frac{5}{3}$$

Suma \frac{5}{3} a \frac{5}{6} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=2.5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2.5,y=-2.5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$0.3x+0.1y=0.5,0.1x-0.3y=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}0.3&0.1\\0.1&-0.3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.5\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}0.3&0.1\\0.1&-0.3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.3&0.1\\0.1&-0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.3&0.1\\0.1&-0.3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&0.1\\0.1&-0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&0.1\\0.1&-0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.3&0.1\\0.1&-0.3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.3}{0.3\left(-0.3\right)-0.1\times 0.1}&-\frac{0.1}{0.3\left(-0.3\right)-0.1\times 0.1}\\-\frac{0.1}{0.3\left(-0.3\right)-0.1\times 0.1}&\frac{0.3}{0.3\left(-0.3\right)-0.1\times 0.1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.5\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.5\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 0.5+1\\0.5-3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2.5\\-2.5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2.5,y=-2.5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$0.3x+0.1y=0.5,0.1x-0.3y=1$$

Para que \frac{3x}{10} e \frac{x}{10} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 0.1 e todos os termos a cada lado da segunda por 0.3.

$$0.1\times 0.3x+0.1\times 0.1y=0.1\times 0.5,0.3\times 0.1x+0.3\left(-0.3\right)y=0.3$$

Simplifica.

$$0.03x+0.01y=0.05,0.03x-0.09y=0.3$$

Resta 0.03x-0.09y=0.3 de 0.03x+0.01y=0.05 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$0.03x-0.03x+0.01y+0.09y=0.05-0.3$$

Suma \frac{3x}{100} a -\frac{3x}{100}. \frac{3x}{100} e -\frac{3x}{100} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$0.01y+0.09y=0.05-0.3$$

Suma \frac{y}{100} a \frac{9y}{100}.

$$0.1y=0.05-0.3$$

Suma 0.05 a -0.3 mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$0.1y=-0.25$$

Multiplica ambos lados por 10.

$$y=-2.5$$

Substitúe y por -2.5 en 0.1x-0.3y=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$0.1x-0.3\left(-2.5\right)=1$$

Multiplica -0.3 por -2.5 mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$0.1x+0.75=1$$

Resta 0.75 en ambos lados da ecuación.

$$0.1x=0.25$$

Multiplica ambos lados por 10.

$$x=2.5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2.5,y=-2.5$$