Resolver {l}{0.07r+0.02t=0.16}{0.05r-0.03t=0.21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.07 r + 0.02 t = 0.16 } \\ { 0.05 r - 0.03 t = 0.21 } \end{array} \right.$$

Resolver r, t

$$r = \frac{90}{31} = 2\frac{28}{31} \approx 2.903225806$$

$$t = -\frac{67}{31} = -2\frac{5}{31} \approx -2.161290323$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a r mediante o illamento de r no lado esquerdo do signo igual.

$$0.07r+0.02t=0.16$$

Resta \frac{t}{50} en ambos lados da ecuación.

$$0.07r=-0.02t+0.16$$

Divide ambos lados da ecuación entre 0.07, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$r=\frac{100}{7}\left(-0.02t+0.16\right)$$

Multiplica \frac{100}{7} por -\frac{t}{50}+0.16.

$$r=-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}$$

Substitúe r por \frac{-2t+16}{7} na outra ecuación, 0.05r-0.03t=0.21.

$$0.05\left(-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}\right)-0.03t=0.21$$

Multiplica 0.05 por \frac{-2t+16}{7}.

$$-\frac{1}{70}t+\frac{4}{35}-0.03t=0.21$$

Suma -\frac{t}{70} a -\frac{3t}{100}.

$$-\frac{31}{700}t+\frac{4}{35}=0.21$$

Resta \frac{4}{35} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{31}{700}t=\frac{67}{700}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{31}{700}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$t=-\frac{67}{31}$$

Substitúe t por -\frac{67}{31} en r=-\frac{2}{7}t+\frac{16}{7}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar r directamente.

$$r=-\frac{2}{7}\left(-\frac{67}{31}\right)+\frac{16}{7}$$

Multiplica -\frac{2}{7} por -\frac{67}{31} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$r=\frac{134}{217}+\frac{16}{7}$$

Suma \frac{16}{7} a \frac{134}{217} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$r=\frac{90}{31}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.07&0.02\\0.05&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.03}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}&-\frac{0.02}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}\\-\frac{0.05}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}&\frac{0.07}{0.07\left(-0.03\right)-0.02\times 0.05}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{31}&\frac{200}{31}\\\frac{500}{31}&-\frac{700}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0.16\\0.21\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{300}{31}\times 0.16+\frac{200}{31}\times 0.21\\\frac{500}{31}\times 0.16-\frac{700}{31}\times 0.21\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}r\\t\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{90}{31}\\-\frac{67}{31}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz r e t.

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$0.07r+0.02t=0.16,0.05r-0.03t=0.21$$

Para que \frac{7r}{100} e \frac{r}{20} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 0.05 e todos os termos a cada lado da segunda por 0.07.

$$0.05\times 0.07r+0.05\times 0.02t=0.05\times 0.16,0.07\times 0.05r+0.07\left(-0.03\right)t=0.07\times 0.21$$

Simplifica.

$$0.0035r+0.001t=0.008,0.0035r-0.0021t=0.0147$$

Resta 0.0035r-0.0021t=0.0147 de 0.0035r+0.001t=0.008 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$0.0035r-0.0035r+0.001t+0.0021t=0.008-0.0147$$

Suma \frac{7r}{2000} a -\frac{7r}{2000}. \frac{7r}{2000} e -\frac{7r}{2000} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$0.001t+0.0021t=0.008-0.0147$$

Suma \frac{t}{1000} a \frac{21t}{10000}.

$$0.0031t=0.008-0.0147$$

Suma 0.008 a -0.0147 mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$0.0031t=-0.0067$$

Divide ambos lados da ecuación entre 0.0031, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$t=-\frac{67}{31}$$

Substitúe t por -\frac{67}{31} en 0.05r-0.03t=0.21. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar r directamente.

$$0.05r-0.03\left(-\frac{67}{31}\right)=0.21$$

Multiplica -0.03 por -\frac{67}{31} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$0.05r+\frac{201}{3100}=0.21$$

Resta \frac{201}{3100} en ambos lados da ecuación.

$$0.05r=\frac{9}{62}$$

Multiplica ambos lados por 20.

$$r=\frac{90}{31}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$r=\frac{90}{31},t=-\frac{67}{31}$$