Resolver {l}{0,6x+2y=20}{(2)-4x+y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0,6 x + 2 y = 20 } \\ { ( 2 ) - 4 x + y = - 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{130}{43}\approx 3,023255814$$

$$y=\frac{391}{43}\approx 9,093023256$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$0,6x+2y=20;-4x+y+2=-1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$0,6x+2y=20$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$0,6x=-2y+20$$

Divide ambos lados da ecuación entre 0,6, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=\frac{5}{3}\left(-2y+20\right)$$

Multiplica \frac{5}{3} por -2y+20.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}$$

Substitúe x por \frac{-10y+100}{3} na outra ecuación, -4x+y+2=-1.

$$-4\left(-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}\right)+y+2=-1$$

Multiplica -4 por \frac{-10y+100}{3}.

$$\frac{40}{3}y-\frac{400}{3}+y+2=-1$$

Suma \frac{40y}{3} a y.

$$\frac{43}{3}y-\frac{400}{3}+2=-1$$

Suma -\frac{400}{3} a 2.

$$\frac{43}{3}y-\frac{394}{3}=-1$$

Suma \frac{394}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{43}{3}y=\frac{391}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{43}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{391}{43}$$

Substitúe y por \frac{391}{43} en x=-\frac{10}{3}y+\frac{100}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{10}{3}\times \frac{391}{43}+\frac{100}{3}$$

Multiplica -\frac{10}{3} por \frac{391}{43} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{3910}{129}+\frac{100}{3}$$

Suma \frac{100}{3} a -\frac{3910}{129} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{130}{43}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{130}{43};y=\frac{391}{43}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$0,6x+2y=20;-4x+y+2=-1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0,6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0,6-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{0,6-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{0,6-2\left(-4\right)}&\frac{0,6}{0,6-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{43}&-\frac{10}{43}\\\frac{20}{43}&\frac{3}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{43}\times 20-\frac{10}{43}\left(-3\right)\\\frac{20}{43}\times 20+\frac{3}{43}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{130}{43}\\\frac{391}{43}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{130}{43};y=\frac{391}{43}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$0,6x+2y=20;-4x+y+2=-1$$

Para que \frac{3x}{5} e -4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -4 e todos os termos a cada lado da segunda por 0,6.

$$-4\times 0,6x-4\times 2y=-4\times 20;0,6\left(-4\right)x+0,6y+0,6\times 2=0,6\left(-1\right)$$

Simplifica.

$$-2,4x-8y=-80;-2,4x+0,6y+1,2=-0,6$$

Resta -2,4x+0,6y+1,2=-0,6 de -2,4x-8y=-80 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-2,4x+2,4x-8y-0,6y-1,2=-80+0,6$$

Suma -\frac{12x}{5} a \frac{12x}{5}. -\frac{12x}{5} e \frac{12x}{5} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-8y-0,6y-1,2=-80+0,6$$

Suma -8y a -\frac{3y}{5}.

$$-8,6y-1,2=-80+0,6$$

Suma -80 a 0,6.

$$-8,6y-1,2=-79,4$$

Suma 1,2 en ambos lados da ecuación.

$$-8,6y=-78,2$$

Divide ambos lados da ecuación entre -8,6, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{391}{43}$$

Substitúe y por \frac{391}{43} en -4x+y+2=-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-4x+\frac{391}{43}+2=-1$$

Suma \frac{391}{43} a 2.

$$-4x+\frac{477}{43}=-1$$

Resta \frac{477}{43} en ambos lados da ecuación.

$$-4x=-\frac{520}{43}$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=\frac{130}{43}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{130}{43};y=\frac{391}{43}$$