Resolver {l}{0,6(x-y)=12}{0,7(x+y)=21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0,6 ( x - y ) = 12 } \\ { 0,7 ( x + y ) = 21 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=25$$

$$y=5$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Divide ambos lados entre 0,6.

$$x-y=\frac{12}{0,6}$$

Expande \frac{12}{0,6} multiplicando o numerador e o denominador por 10.

$$x-y=\frac{120}{6}$$

Divide 120 entre 6 para obter 20.

$$x-y=20$$

Ten en conta a segunda ecuación. Divide ambos lados entre 0,7.

$$x+y=\frac{21}{0,7}$$

Expande \frac{21}{0,7} multiplicando o numerador e o denominador por 10.

$$x+y=\frac{210}{7}$$

Divide 210 entre 7 para obter 30.

$$x+y=30$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x-y=20;x+y=30$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x-y=20$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$x=y+20$$

Substitúe x por y+20 na outra ecuación, x+y=30.

$$y+20+y=30$$

Suma y a y.

$$2y+20=30$$

Resta 20 en ambos lados da ecuación.

$$2y=10$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x=y+20. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=5+20$$

Suma 20 a 5.

$$x=25$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=25;y=5$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Divide ambos lados entre 0,6.

$$x-y=\frac{12}{0,6}$$

Expande \frac{12}{0,6} multiplicando o numerador e o denominador por 10.

$$x-y=\frac{120}{6}$$

Divide 120 entre 6 para obter 20.

$$x-y=20$$

Ten en conta a segunda ecuación. Divide ambos lados entre 0,7.

$$x+y=\frac{21}{0,7}$$

Expande \frac{21}{0,7} multiplicando o numerador e o denominador por 10.

$$x+y=\frac{210}{7}$$

Divide 210 entre 7 para obter 30.

$$x+y=30$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x-y=20;x+y=30$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\30\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\30\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\30\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\30\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\30\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\30\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 20+\frac{1}{2}\times 30\\-\frac{1}{2}\times 20+\frac{1}{2}\times 30\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=25;y=5$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Divide ambos lados entre 0,6.

$$x-y=\frac{12}{0,6}$$

Expande \frac{12}{0,6} multiplicando o numerador e o denominador por 10.

$$x-y=\frac{120}{6}$$

Divide 120 entre 6 para obter 20.

$$x-y=20$$

Ten en conta a segunda ecuación. Divide ambos lados entre 0,7.

$$x+y=\frac{21}{0,7}$$

Expande \frac{21}{0,7} multiplicando o numerador e o denominador por 10.

$$x+y=\frac{210}{7}$$

Divide 210 entre 7 para obter 30.

$$x+y=30$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x-y=20;x+y=30$$

Resta x+y=30 de x-y=20 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$x-x-y-y=20-30$$

Suma x a -x. x e -x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-y-y=20-30$$

Suma -y a -y.

$$-2y=20-30$$

Suma 20 a -30.

$$-2y=-10$$

Divide ambos lados entre -2.

$$y=5$$

Substitúe y por 5 en x+y=30. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x+5=30$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$x=25$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=25;y=5$$