Resolver {l}{-x+5y=1}{-2x-5y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - x + 5 y = 1 } \\ { - 2 x - 5 y = 11 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-4$$

$$y=-\frac{3}{5}=-0.6$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-x+5y=1$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$-x=-5y+1$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=-\left(-5y+1\right)$$

Multiplica -1 por -5y+1.

$$x=5y-1$$

Substitúe x por 5y-1 na outra ecuación, -2x-5y=11.

$$-2\left(5y-1\right)-5y=11$$

Multiplica -2 por 5y-1.

$$-10y+2-5y=11$$

Suma -10y a -5y.

$$-15y+2=11$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$-15y=9$$

Divide ambos lados entre -15.

$$y=-\frac{3}{5}$$

Substitúe y por -\frac{3}{5} en x=5y-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=5\left(-\frac{3}{5}\right)-1$$

Multiplica 5 por -\frac{3}{5}.

$$x=-3-1$$

Suma -1 a -3.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&5\\-2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}&-\frac{5}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}&-\frac{1}{-\left(-5\right)-5\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\times 11\\\frac{2}{15}-\frac{1}{15}\times 11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-\frac{3}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-x+5y=1,-2x-5y=11$$

Para que -x e -2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -2 e todos os termos a cada lado da segunda por -1.

$$-2\left(-1\right)x-2\times 5y=-2,-\left(-2\right)x-\left(-5y\right)=-11$$

Simplifica.

$$2x-10y=-2,2x+5y=-11$$

Resta 2x+5y=-11 de 2x-10y=-2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$2x-2x-10y-5y=-2+11$$

Suma 2x a -2x. 2x e -2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-10y-5y=-2+11$$

Suma -10y a -5y.

$$-15y=-2+11$$

Suma -2 a 11.

$$-15y=9$$

Divide ambos lados entre -15.

$$y=-\frac{3}{5}$$

Substitúe y por -\frac{3}{5} en -2x-5y=11. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-2x-5\left(-\frac{3}{5}\right)=11$$

Multiplica -5 por -\frac{3}{5}.

$$-2x+3=11$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$-2x=8$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=-\frac{3}{5}$$