Resolver {l}{-x+3y=6}{x-7y=14}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - x + 3 y = 6 } \\ { x - 7 y = 14 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-21$$

$$y=-5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-x+3y=6,x-7y=14$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-x+3y=6$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$-x=-3y+6$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=-\left(-3y+6\right)$$

Multiplica -1 por -3y+6.

$$x=3y-6$$

Substitúe x por -6+3y na outra ecuación, x-7y=14.

$$3y-6-7y=14$$

Suma 3y a -7y.

$$-4y-6=14$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$-4y=20$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=-5$$

Substitúe y por -5 en x=3y-6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=3\left(-5\right)-6$$

Multiplica 3 por -5.

$$x=-15-6$$

Suma -6 a -15.

$$x=-21$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-21,y=-5$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-x+3y=6,x-7y=14$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\1&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-\left(-7\right)-3}&-\frac{3}{-\left(-7\right)-3}\\-\frac{1}{-\left(-7\right)-3}&-\frac{1}{-\left(-7\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{4}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{4}\times 6-\frac{3}{4}\times 14\\-\frac{1}{4}\times 6-\frac{1}{4}\times 14\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-21\\-5\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-21,y=-5$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-x+3y=6,x-7y=14$$

Para que -x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por -1.

$$-x+3y=6,-x-\left(-7y\right)=-14$$

Simplifica.

$$-x+3y=6,-x+7y=-14$$

Resta -x+7y=-14 de -x+3y=6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-x+x+3y-7y=6+14$$

Suma -x a x. -x e x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$3y-7y=6+14$$

Suma 3y a -7y.

$$-4y=6+14$$

Suma 6 a 14.

$$-4y=20$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=-5$$

Substitúe y por -5 en x-7y=14. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-7\left(-5\right)=14$$

Multiplica -7 por -5.

$$x+35=14$$

Resta 35 en ambos lados da ecuación.

$$x=-21$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-21,y=-5$$