Resolver {l}{-x+3y=2}{2x-5y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - x + 3 y = 2 } \\ { 2 x - 5 y = 7 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=31$$

$$y=11$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-x+3y=2,2x-5y=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-x+3y=2$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$-x=-3y+2$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=-\left(-3y+2\right)$$

Multiplica -1 por -3y+2.

$$x=3y-2$$

Substitúe x por 3y-2 na outra ecuación, 2x-5y=7.

$$2\left(3y-2\right)-5y=7$$

Multiplica 2 por 3y-2.

$$6y-4-5y=7$$

Suma 6y a -5y.

$$y-4=7$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$y=11$$

Substitúe y por 11 en x=3y-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=3\times 11-2$$

Multiplica 3 por 11.

$$x=33-2$$

Suma -2 a 33.

$$x=31$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=31,y=11$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-x+3y=2,2x-5y=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-1&3\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-1&3\\2&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&3\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&3\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-\left(-5\right)-3\times 2}&-\frac{3}{-\left(-5\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{-\left(-5\right)-3\times 2}&-\frac{1}{-\left(-5\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 2+3\times 7\\2\times 2+7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}31\\11\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=31,y=11$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-x+3y=2,2x-5y=7$$

Para que -x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por -1.

$$2\left(-1\right)x+2\times 3y=2\times 2,-2x-\left(-5y\right)=-7$$

Simplifica.

$$-2x+6y=4,-2x+5y=-7$$

Resta -2x+5y=-7 de -2x+6y=4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-2x+2x+6y-5y=4+7$$

Suma -2x a 2x. -2x e 2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6y-5y=4+7$$

Suma 6y a -5y.

$$y=4+7$$

Suma 4 a 7.

$$y=11$$

Substitúe y por 11 en 2x-5y=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x-5\times 11=7$$

Multiplica -5 por 11.

$$2x-55=7$$

Suma 55 en ambos lados da ecuación.

$$2x=62$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=31$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=31,y=11$$