Resolver {l}{-8x+4y=24}{-7x+7y=28}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 8 x + 4 y = 24 } \\ { - 7 x + 7 y = 28 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-2$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-8x+4y=24$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$-8x=-4y+24$$

Divide ambos lados entre -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-4y+24\right)$$

Multiplica -\frac{1}{8} por -4y+24.

$$x=\frac{1}{2}y-3$$

Substitúe x por \frac{y}{2}-3 na outra ecuación, -7x+7y=28.

$$-7\left(\frac{1}{2}y-3\right)+7y=28$$

Multiplica -7 por \frac{y}{2}-3.

$$-\frac{7}{2}y+21+7y=28$$

Suma -\frac{7y}{2} a 7y.

$$\frac{7}{2}y+21=28$$

Resta 21 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{7}{2}y=7$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{7}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=\frac{1}{2}y-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{2}\times 2-3$$

Multiplica \frac{1}{2} por 2.

$$x=1-3$$

Suma -3 a 1.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&4\\-7&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-8\times 7-4\left(-7\right)}&-\frac{4}{-8\times 7-4\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{-8\times 7-4\left(-7\right)}&-\frac{8}{-8\times 7-4\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{7}\\-\frac{1}{4}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\28\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 24+\frac{1}{7}\times 28\\-\frac{1}{4}\times 24+\frac{2}{7}\times 28\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-2,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-8x+4y=24,-7x+7y=28$$

Para que -8x e -7x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -7 e todos os termos a cada lado da segunda por -8.

$$-7\left(-8\right)x-7\times 4y=-7\times 24,-8\left(-7\right)x-8\times 7y=-8\times 28$$

Simplifica.

$$56x-28y=-168,56x-56y=-224$$

Resta 56x-56y=-224 de 56x-28y=-168 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$56x-56x-28y+56y=-168+224$$

Suma 56x a -56x. 56x e -56x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-28y+56y=-168+224$$

Suma -28y a 56y.

$$28y=-168+224$$

Suma -168 a 224.

$$28y=56$$

Divide ambos lados entre 28.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en -7x+7y=28. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-7x+7\times 2=28$$

Multiplica 7 por 2.

$$-7x+14=28$$

Resta 14 en ambos lados da ecuación.

$$-7x=14$$

Divide ambos lados entre -7.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=2$$