Resolver {l}{-7x-2y=14}{6x+6y=18}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 7 x - 2 y = 14 } \\ { 6 x + 6 y = 18 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-4$$

$$y=7$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-7x-2y=14,6x+6y=18$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-7x-2y=14$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$-7x=2y+14$$

Divide ambos lados entre -7.

$$x=-\frac{1}{7}\left(2y+14\right)$$

Multiplica -\frac{1}{7} por 14+2y.

$$x=-\frac{2}{7}y-2$$

Substitúe x por -\frac{2y}{7}-2 na outra ecuación, 6x+6y=18.

$$6\left(-\frac{2}{7}y-2\right)+6y=18$$

Multiplica 6 por -\frac{2y}{7}-2.

$$-\frac{12}{7}y-12+6y=18$$

Suma -\frac{12y}{7} a 6y.

$$\frac{30}{7}y-12=18$$

Suma 12 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{30}{7}y=30$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{30}{7}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=7$$

Substitúe y por 7 en x=-\frac{2}{7}y-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{2}{7}\times 7-2$$

Multiplica -\frac{2}{7} por 7.

$$x=-2-2$$

Suma -2 a -2.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=7$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-7x-2y=14,6x+6y=18$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{-7\times 6-\left(-2\times 6\right)}&-\frac{-2}{-7\times 6-\left(-2\times 6\right)}\\-\frac{6}{-7\times 6-\left(-2\times 6\right)}&-\frac{7}{-7\times 6-\left(-2\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&-\frac{1}{15}\\\frac{1}{5}&\frac{7}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 14-\frac{1}{15}\times 18\\\frac{1}{5}\times 14+\frac{7}{30}\times 18\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-4,y=7$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-7x-2y=14,6x+6y=18$$

Para que -7x e 6x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 6 e todos os termos a cada lado da segunda por -7.

$$6\left(-7\right)x+6\left(-2\right)y=6\times 14,-7\times 6x-7\times 6y=-7\times 18$$

Simplifica.

$$-42x-12y=84,-42x-42y=-126$$

Resta -42x-42y=-126 de -42x-12y=84 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-42x+42x-12y+42y=84+126$$

Suma -42x a 42x. -42x e 42x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-12y+42y=84+126$$

Suma -12y a 42y.

$$30y=84+126$$

Suma 84 a 126.

$$30y=210$$

Divide ambos lados entre 30.

$$y=7$$

Substitúe y por 7 en 6x+6y=18. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$6x+6\times 7=18$$

Multiplica 6 por 7.

$$6x+42=18$$

Resta 42 en ambos lados da ecuación.

$$6x=-24$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=7$$