Resolver {l}{-6x-4y=2}{2x+8y=26}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 6 x - 4 y = 2 } \\ { 2 x + 8 y = 26 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-3$$

$$y=4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-6x-4y=2,2x+8y=26$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-6x-4y=2$$

Suma 4y en ambos lados da ecuación.

$$-6x=4y+2$$

Divide ambos lados entre -6.

$$x=-\frac{1}{6}\left(4y+2\right)$$

Multiplica -\frac{1}{6} por 4y+2.

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}$$

Substitúe x por \frac{-2y-1}{3} na outra ecuación, 2x+8y=26.

$$2\left(-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}\right)+8y=26$$

Multiplica 2 por \frac{-2y-1}{3}.

$$-\frac{4}{3}y-\frac{2}{3}+8y=26$$

Suma -\frac{4y}{3} a 8y.

$$\frac{20}{3}y-\frac{2}{3}=26$$

Suma \frac{2}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{20}{3}y=\frac{80}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{20}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en x=-\frac{2}{3}y-\frac{1}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{2}{3}\times 4-\frac{1}{3}$$

Multiplica -\frac{2}{3} por 4.

$$x=\frac{-8-1}{3}$$

Suma -\frac{1}{3} a -\frac{8}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-6x-4y=2,2x+8y=26$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-6&-4\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\26\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-6&-4\\2&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&-4\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&-4\\2&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&-4\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\26\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&-4\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\26\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&-4\\2&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\26\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{-6\times 8-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{-6\times 8-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{-6\times 8-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{6}{-6\times 8-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\26\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\\\frac{1}{20}&\frac{3}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\26\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 2-\frac{1}{10}\times 26\\\frac{1}{20}\times 2+\frac{3}{20}\times 26\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-3,y=4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-6x-4y=2,2x+8y=26$$

Para que -6x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por -6.

$$2\left(-6\right)x+2\left(-4\right)y=2\times 2,-6\times 2x-6\times 8y=-6\times 26$$

Simplifica.

$$-12x-8y=4,-12x-48y=-156$$

Resta -12x-48y=-156 de -12x-8y=4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-12x+12x-8y+48y=4+156$$

Suma -12x a 12x. -12x e 12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-8y+48y=4+156$$

Suma -8y a 48y.

$$40y=4+156$$

Suma 4 a 156.

$$40y=160$$

Divide ambos lados entre 40.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en 2x+8y=26. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+8\times 4=26$$

Multiplica 8 por 4.

$$2x+32=26$$

Resta 32 en ambos lados da ecuación.

$$2x=-6$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=-3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-3,y=4$$