Resolver {l}{-5x+y=-12}{5y=10x-15}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 5 x + y = - 12 } \\ { 5 y = 10 x - 15 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 10x en ambos lados.

$$5y-10x=-15$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-5x+y=-12$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$-5x=-y-12$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-y-12\right)$$

Multiplica -\frac{1}{5} por -y-12.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}$$

Substitúe x por \frac{12+y}{5} na outra ecuación, -10x+5y=-15.

$$-10\left(\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}\right)+5y=-15$$

Multiplica -10 por \frac{12+y}{5}.

$$-2y-24+5y=-15$$

Suma -2y a 5y.

$$3y-24=-15$$

Suma 24 en ambos lados da ecuación.

$$3y=9$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=\frac{1}{5}y+\frac{12}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{5}\times 3+\frac{12}{5}$$

Multiplica \frac{1}{5} por 3.

$$x=\frac{3+12}{5}$$

Suma \frac{12}{5} a \frac{3}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=3$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 10x en ambos lados.

$$5y-10x=-15$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&1\\-10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-5\times 5-\left(-10\right)}&-\frac{1}{-5\times 5-\left(-10\right)}\\-\frac{-10}{-5\times 5-\left(-10\right)}&-\frac{5}{-5\times 5-\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{15}\\-\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-12\right)+\frac{1}{15}\left(-15\right)\\-\frac{2}{3}\left(-12\right)+\frac{1}{3}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a segunda ecuación. Resta 10x en ambos lados.

$$5y-10x=-15$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-5x+y=-12,-10x+5y=-15$$

Para que -5x e -10x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -10 e todos os termos a cada lado da segunda por -5.

$$-10\left(-5\right)x-10y=-10\left(-12\right),-5\left(-10\right)x-5\times 5y=-5\left(-15\right)$$

Simplifica.

$$50x-10y=120,50x-25y=75$$

Resta 50x-25y=75 de 50x-10y=120 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$50x-50x-10y+25y=120-75$$

Suma 50x a -50x. 50x e -50x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-10y+25y=120-75$$

Suma -10y a 25y.

$$15y=120-75$$

Suma 120 a -75.

$$15y=45$$

Divide ambos lados entre 15.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en -10x+5y=-15. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-10x+5\times 3=-15$$

Multiplica 5 por 3.

$$-10x+15=-15$$

Resta 15 en ambos lados da ecuación.

$$-10x=-30$$

Divide ambos lados entre -10.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=3$$