Resolver {l}{-5a=4a+2b-3}{-b/2a=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 5 a = 4 a + 2 b - 3 } \\ { - \frac { b } { 2 a } = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a=\frac{3}{5}=0.6$$

$$b = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5} = -1.2$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 4a en ambos lados.

$$-5a-4a=2b-3$$

Combina -5a e -4a para obter -9a.

$$-9a=2b-3$$

Divide ambos lados entre -9.

$$a=-\frac{1}{9}\left(2b-3\right)$$

Multiplica -\frac{1}{9} por 2b-3.

$$a=-\frac{2}{9}b+\frac{1}{3}$$

Substitúe a por -\frac{2b}{9}+\frac{1}{3} na outra ecuación, -2a-b=0.

$$-2\left(-\frac{2}{9}b+\frac{1}{3}\right)-b=0$$

Multiplica -2 por -\frac{2b}{9}+\frac{1}{3}.

$$\frac{4}{9}b-\frac{2}{3}-b=0$$

Suma \frac{4b}{9} a -b.

$$-\frac{5}{9}b-\frac{2}{3}=0$$

Suma \frac{2}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{5}{9}b=\frac{2}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{5}{9}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$b=-\frac{6}{5}$$

Substitúe b por -\frac{6}{5} en a=-\frac{2}{9}b+\frac{1}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=-\frac{2}{9}\left(-\frac{6}{5}\right)+\frac{1}{3}$$

Multiplica -\frac{2}{9} por -\frac{6}{5} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$a=\frac{4}{15}+\frac{1}{3}$$

Suma \frac{1}{3} a \frac{4}{15} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$a=\frac{3}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=\frac{3}{5},b=-\frac{6}{5}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 4a en ambos lados.

$$-5a-4a=2b-3$$

Combina -5a e -4a para obter -9a.

$$-9a=2b-3$$

Resta 2b en ambos lados.

$$-9a-2b=-3$$

Ten en conta a segunda ecuación. A variable a non pode ser igual a 0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 2a.

$$-b=2a$$

Resta 2a en ambos lados.

$$-b-2a=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-9a-2b=-3,-2a-b=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-9&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-9&-2\\-2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-9&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-9&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-9\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{-9\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-9\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{9}{-9\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{9}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-3\right)\\\frac{2}{5}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\-\frac{6}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=\frac{3}{5},b=-\frac{6}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 4a en ambos lados.

$$-5a-4a=2b-3$$

Combina -5a e -4a para obter -9a.

$$-9a=2b-3$$

Resta 2b en ambos lados.

$$-9a-2b=-3$$

Ten en conta a segunda ecuación. A variable a non pode ser igual a 0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 2a.

$$-b=2a$$

Resta 2a en ambos lados.

$$-b-2a=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-9a-2b=-3,-2a-b=0$$

Para que -9a e -2a sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -2 e todos os termos a cada lado da segunda por -9.

$$-2\left(-9\right)a-2\left(-2\right)b=-2\left(-3\right),-9\left(-2\right)a-9\left(-1\right)b=0$$

Simplifica.

$$18a+4b=6,18a+9b=0$$

Resta 18a+9b=0 de 18a+4b=6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$18a-18a+4b-9b=6$$

Suma 18a a -18a. 18a e -18a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4b-9b=6$$

Suma 4b a -9b.

$$-5b=6$$

Divide ambos lados entre -5.

$$b=-\frac{6}{5}$$

Substitúe b por -\frac{6}{5} en -2a-b=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$-2a-\left(-\frac{6}{5}\right)=0$$

Resta \frac{6}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-2a=-\frac{6}{5}$$

Divide ambos lados entre -2.

$$a=\frac{3}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=\frac{3}{5},b=-\frac{6}{5}$$