Resolver {l}{-4x-2y=-16}{7x-5y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 4 x - 2 y = - 16 } \\ { 7 x - 5 y = 11 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-4x-2y=-16,7x-5y=11$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-4x-2y=-16$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$-4x=2y-16$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(2y-16\right)$$

Multiplica -\frac{1}{4} por -16+2y.

$$x=-\frac{1}{2}y+4$$

Substitúe x por -\frac{y}{2}+4 na outra ecuación, 7x-5y=11.

$$7\left(-\frac{1}{2}y+4\right)-5y=11$$

Multiplica 7 por -\frac{y}{2}+4.

$$-\frac{7}{2}y+28-5y=11$$

Suma -\frac{7y}{2} a -5y.

$$-\frac{17}{2}y+28=11$$

Resta 28 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{17}{2}y=-17$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{17}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=-\frac{1}{2}y+4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+4$$

Multiplica -\frac{1}{2} por 2.

$$x=-1+4$$

Suma 4 a -1.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-4x-2y=-16,7x-5y=11$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-2\\7&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{-2}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}\\-\frac{7}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{4}{-4\left(-5\right)-\left(-2\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{34}&\frac{1}{17}\\-\frac{7}{34}&-\frac{2}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{34}\left(-16\right)+\frac{1}{17}\times 11\\-\frac{7}{34}\left(-16\right)-\frac{2}{17}\times 11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-4x-2y=-16,7x-5y=11$$

Para que -4x e 7x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 7 e todos os termos a cada lado da segunda por -4.

$$7\left(-4\right)x+7\left(-2\right)y=7\left(-16\right),-4\times 7x-4\left(-5\right)y=-4\times 11$$

Simplifica.

$$-28x-14y=-112,-28x+20y=-44$$

Resta -28x+20y=-44 de -28x-14y=-112 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-28x+28x-14y-20y=-112+44$$

Suma -28x a 28x. -28x e 28x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-14y-20y=-112+44$$

Suma -14y a -20y.

$$-34y=-112+44$$

Suma -112 a 44.

$$-34y=-68$$

Divide ambos lados entre -34.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en 7x-5y=11. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$7x-5\times 2=11$$

Multiplica -5 por 2.

$$7x-10=11$$

Suma 10 en ambos lados da ecuación.

$$7x=21$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=2$$