Resolver {l}{-4x+3y=13}{15x+3y=-6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 4 x + 3 y = 13 } \\ { 15 x + 3 y = - 6 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-1$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-4x+3y=13,15x+3y=-6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-4x+3y=13$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$-4x=-3y+13$$

Divide ambos lados entre -4.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-3y+13\right)$$

Multiplica -\frac{1}{4} por -3y+13.

$$x=\frac{3}{4}y-\frac{13}{4}$$

Substitúe x por \frac{3y-13}{4} na outra ecuación, 15x+3y=-6.

$$15\left(\frac{3}{4}y-\frac{13}{4}\right)+3y=-6$$

Multiplica 15 por \frac{3y-13}{4}.

$$\frac{45}{4}y-\frac{195}{4}+3y=-6$$

Suma \frac{45y}{4} a 3y.

$$\frac{57}{4}y-\frac{195}{4}=-6$$

Suma \frac{195}{4} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{57}{4}y=\frac{171}{4}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{57}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=\frac{3}{4}y-\frac{13}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{4}\times 3-\frac{13}{4}$$

Multiplica \frac{3}{4} por 3.

$$x=\frac{9-13}{4}$$

Suma -\frac{13}{4} a \frac{9}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=3$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-4x+3y=13,15x+3y=-6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&3\\15&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-4\times 3-3\times 15}&-\frac{3}{-4\times 3-3\times 15}\\-\frac{15}{-4\times 3-3\times 15}&-\frac{4}{-4\times 3-3\times 15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}&\frac{1}{19}\\\frac{5}{19}&\frac{4}{57}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{19}\times 13+\frac{1}{19}\left(-6\right)\\\frac{5}{19}\times 13+\frac{4}{57}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-1,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-4x+3y=13,15x+3y=-6$$

Resta 15x+3y=-6 de -4x+3y=13 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-4x-15x+3y-3y=13+6$$

Suma 3y a -3y. 3y e -3y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-4x-15x=13+6$$

Suma -4x a -15x.

$$-19x=13+6$$

Suma 13 a 6.

$$-19x=19$$

Divide ambos lados entre -19.

$$x=-1$$

Substitúe x por -1 en 15x+3y=-6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$15\left(-1\right)+3y=-6$$

Multiplica 15 por -1.

$$-15+3y=-6$$

Suma 15 en ambos lados da ecuación.

$$3y=9$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-1,y=3$$