Resolver {l}{-3x-2y=5}{2x+4y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 x - 2 y = 5 } \\ { 2 x + 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = -\frac{9}{4} = -2\frac{1}{4} = -2.25$$

$$y=\frac{7}{8}=0.875$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-3x-2y=5,2x+4y=-1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-3x-2y=5$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$-3x=2y+5$$

Divide ambos lados entre -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(2y+5\right)$$

Multiplica -\frac{1}{3} por 2y+5.

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{5}{3}$$

Substitúe x por \frac{-2y-5}{3} na outra ecuación, 2x+4y=-1.

$$2\left(-\frac{2}{3}y-\frac{5}{3}\right)+4y=-1$$

Multiplica 2 por \frac{-2y-5}{3}.

$$-\frac{4}{3}y-\frac{10}{3}+4y=-1$$

Suma -\frac{4y}{3} a 4y.

$$\frac{8}{3}y-\frac{10}{3}=-1$$

Suma \frac{10}{3} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{8}{3}y=\frac{7}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{8}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{7}{8}$$

Substitúe y por \frac{7}{8} en x=-\frac{2}{3}y-\frac{5}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{7}{8}-\frac{5}{3}$$

Multiplica -\frac{2}{3} por \frac{7}{8} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{7}{12}-\frac{5}{3}$$

Suma -\frac{5}{3} a -\frac{7}{12} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{9}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{9}{4},y=\frac{7}{8}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-3x-2y=5,2x+4y=-1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-3&-2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-3&-2\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&-2\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-2\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-3\times 4-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{-3\times 4-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{-3\times 4-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{3}{-3\times 4-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{4}\left(-1\right)\\\frac{1}{4}\times 5+\frac{3}{8}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{4}\\\frac{7}{8}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{9}{4},y=\frac{7}{8}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-3x-2y=5,2x+4y=-1$$

Para que -3x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por -3.

$$2\left(-3\right)x+2\left(-2\right)y=2\times 5,-3\times 2x-3\times 4y=-3\left(-1\right)$$

Simplifica.

$$-6x-4y=10,-6x-12y=3$$

Resta -6x-12y=3 de -6x-4y=10 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-6x+6x-4y+12y=10-3$$

Suma -6x a 6x. -6x e 6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-4y+12y=10-3$$

Suma -4y a 12y.

$$8y=10-3$$

Suma 10 a -3.

$$8y=7$$

Divide ambos lados entre 8.

$$y=\frac{7}{8}$$

Substitúe y por \frac{7}{8} en 2x+4y=-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+4\times \frac{7}{8}=-1$$

Multiplica 4 por \frac{7}{8}.

$$2x+\frac{7}{2}=-1$$

Resta \frac{7}{2} en ambos lados da ecuación.

$$2x=-\frac{9}{2}$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=-\frac{9}{4}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{9}{4},y=\frac{7}{8}$$