Resolver {l}{-3a=4a+2b-3}{-b/2a=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 a = 4 a + 2 b - 3 } \\ { - \frac { b } { 2 a } = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a=1$$

$$b=-2$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 4a en ambos lados.

$$-3a-4a=2b-3$$

Combina -3a e -4a para obter -7a.

$$-7a=2b-3$$

Divide ambos lados entre -7.

$$a=-\frac{1}{7}\left(2b-3\right)$$

Multiplica -\frac{1}{7} por 2b-3.

$$a=-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}$$

Substitúe a por \frac{-2b+3}{7} na outra ecuación, -2a-b=0.

$$-2\left(-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}\right)-b=0$$

Multiplica -2 por \frac{-2b+3}{7}.

$$\frac{4}{7}b-\frac{6}{7}-b=0$$

Suma \frac{4b}{7} a -b.

$$-\frac{3}{7}b-\frac{6}{7}=0$$

Suma \frac{6}{7} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{3}{7}b=\frac{6}{7}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{3}{7}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$b=-2$$

Substitúe b por -2 en a=-\frac{2}{7}b+\frac{3}{7}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=-\frac{2}{7}\left(-2\right)+\frac{3}{7}$$

Multiplica -\frac{2}{7} por -2.

$$a=\frac{4+3}{7}$$

Suma \frac{3}{7} a \frac{4}{7} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$a=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=1,b=-2$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 4a en ambos lados.

$$-3a-4a=2b-3$$

Combina -3a e -4a para obter -7a.

$$-7a=2b-3$$

Resta 2b en ambos lados.

$$-7a-2b=-3$$

Ten en conta a segunda ecuación. A variable a non pode ser igual a 0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 2a.

$$-b=2a$$

Resta 2a en ambos lados.

$$-b-2a=0$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-7a-2b=-3,-2a-b=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-2\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{-2}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}&-\frac{7}{-7\left(-1\right)-\left(-2\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{7}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-3\right)\\\frac{2}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=1,b=-2$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 4a en ambos lados.

$$-3a-4a=2b-3$$

Combina -3a e -4a para obter -7a.

$$-7a=2b-3$$

Resta 2b en ambos lados.

$$-7a-2b=-3$$

Ten en conta a segunda ecuación. A variable a non pode ser igual a 0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por 2a.

$$-b=2a$$

Resta 2a en ambos lados.

$$-b-2a=0$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-7a-2b=-3,-2a-b=0$$

Para que -7a e -2a sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -2 e todos os termos a cada lado da segunda por -7.

$$-2\left(-7\right)a-2\left(-2\right)b=-2\left(-3\right),-7\left(-2\right)a-7\left(-1\right)b=0$$

Simplifica.

$$14a+4b=6,14a+7b=0$$

Resta 14a+7b=0 de 14a+4b=6 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$14a-14a+4b-7b=6$$

Suma 14a a -14a. 14a e -14a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$4b-7b=6$$

Suma 4b a -7b.

$$-3b=6$$

Divide ambos lados entre -3.

$$b=-2$$

Substitúe b por -2 en -2a-b=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$-2a-\left(-2\right)=0$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$-2a=-2$$

Divide ambos lados entre -2.

$$a=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=1,b=-2$$