Resolver {l}{-2x+3y=9}{7x-9y=-31}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 2 x + 3 y = 9 } \\ { 7 x - 9 y = - 31 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-4$$

$$y=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-2x+3y=9,7x-9y=-31$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-2x+3y=9$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$-2x=-3y+9$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3y+9\right)$$

Multiplica -\frac{1}{2} por -3y+9.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{9}{2}$$

Substitúe x por \frac{-9+3y}{2} na outra ecuación, 7x-9y=-31.

$$7\left(\frac{3}{2}y-\frac{9}{2}\right)-9y=-31$$

Multiplica 7 por \frac{-9+3y}{2}.

$$\frac{21}{2}y-\frac{63}{2}-9y=-31$$

Suma \frac{21y}{2} a -9y.

$$\frac{3}{2}y-\frac{63}{2}=-31$$

Suma \frac{63}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{3}{2}y=\frac{1}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{3}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{1}{3}$$

Substitúe y por \frac{1}{3} en x=\frac{3}{2}y-\frac{9}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{1}{3}-\frac{9}{2}$$

Multiplica \frac{3}{2} por \frac{1}{3} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{1-9}{2}$$

Suma -\frac{9}{2} a \frac{1}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=\frac{1}{3}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-2x+3y=9,7x-9y=-31$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&3\\7&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-2\left(-9\right)-3\times 7}&-\frac{3}{-2\left(-9\right)-3\times 7}\\-\frac{7}{-2\left(-9\right)-3\times 7}&-\frac{2}{-2\left(-9\right)-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&1\\\frac{7}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-31\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 9-31\\\frac{7}{3}\times 9+\frac{2}{3}\left(-31\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-4,y=\frac{1}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-2x+3y=9,7x-9y=-31$$

Para que -2x e 7x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 7 e todos os termos a cada lado da segunda por -2.

$$7\left(-2\right)x+7\times 3y=7\times 9,-2\times 7x-2\left(-9\right)y=-2\left(-31\right)$$

Simplifica.

$$-14x+21y=63,-14x+18y=62$$

Resta -14x+18y=62 de -14x+21y=63 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-14x+14x+21y-18y=63-62$$

Suma -14x a 14x. -14x e 14x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$21y-18y=63-62$$

Suma 21y a -18y.

$$3y=63-62$$

Suma 63 a -62.

$$3y=1$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=\frac{1}{3}$$

Substitúe y por \frac{1}{3} en 7x-9y=-31. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$7x-9\times \frac{1}{3}=-31$$

Multiplica -9 por \frac{1}{3}.

$$7x-3=-31$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$7x=-28$$

Divide ambos lados entre 7.

$$x=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-4,y=\frac{1}{3}$$