Resolver {l}{-2a-b+8=0}{-2b+a+1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 2 a - b + 8 = 0 } \\ { - 2 b + a + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a=3$$

$$b=2$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$-2a-b+8=0$$

Resta 8 en ambos lados da ecuación.

$$-2a-b=-8$$

Suma b en ambos lados da ecuación.

$$-2a=b-8$$

Divide ambos lados entre -2.

$$a=-\frac{1}{2}\left(b-8\right)$$

Multiplica -\frac{1}{2} por b-8.

$$a=-\frac{1}{2}b+4$$

Substitúe a por -\frac{b}{2}+4 na outra ecuación, a-2b+1=0.

$$-\frac{1}{2}b+4-2b+1=0$$

Suma -\frac{b}{2} a -2b.

$$-\frac{5}{2}b+4+1=0$$

Suma 4 a 1.

$$-\frac{5}{2}b+5=0$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{5}{2}b=-5$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{5}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$b=2$$

Substitúe b por 2 en a=-\frac{1}{2}b+4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=-\frac{1}{2}\times 2+4$$

Multiplica -\frac{1}{2} por 2.

$$a=-1+4$$

Suma 4 a -1.

$$a=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=3,b=2$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-8\right)+\frac{1}{5}\left(-1\right)\\-\frac{1}{5}\left(-8\right)-\frac{2}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=3,b=2$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

Para que -2a e a sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por -2.

$$-2a-b+8=0,-2a-2\left(-2\right)b-2=0$$

Simplifica.

$$-2a-b+8=0,-2a+4b-2=0$$

Resta -2a+4b-2=0 de -2a-b+8=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-2a+2a-b-4b+8+2=0$$

Suma -2a a 2a. -2a e 2a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-b-4b+8+2=0$$

Suma -b a -4b.

$$-5b+8+2=0$$

Suma 8 a 2.

$$-5b+10=0$$

Resta 10 en ambos lados da ecuación.

$$-5b=-10$$

Divide ambos lados entre -5.

$$b=2$$

Substitúe b por 2 en a-2b+1=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a-2\times 2+1=0$$

Multiplica -2 por 2.

$$a-4+1=0$$

Suma -4 a 1.

$$a-3=0$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$a=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=3,b=2$$