Resolver {l}{-10x-3y=9}{-5x+5y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 10 x - 3 y = 9 } \\ { - 5 x + 5 y = - 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-\frac{3}{5}=-0.6$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-10x-3y=9,-5x+5y=-2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-10x-3y=9$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$-10x=3y+9$$

Divide ambos lados entre -10.

$$x=-\frac{1}{10}\left(3y+9\right)$$

Multiplica -\frac{1}{10} por 9+3y.

$$x=-\frac{3}{10}y-\frac{9}{10}$$

Substitúe x por \frac{-3y-9}{10} na outra ecuación, -5x+5y=-2.

$$-5\left(-\frac{3}{10}y-\frac{9}{10}\right)+5y=-2$$

Multiplica -5 por \frac{-3y-9}{10}.

$$\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}+5y=-2$$

Suma \frac{3y}{2} a 5y.

$$\frac{13}{2}y+\frac{9}{2}=-2$$

Resta \frac{9}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{13}{2}y=-\frac{13}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{13}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=-\frac{3}{10}y-\frac{9}{10}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{10}\left(-1\right)-\frac{9}{10}$$

Multiplica -\frac{3}{10} por -1.

$$x=\frac{3-9}{10}$$

Suma -\frac{9}{10} a \frac{3}{10} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{3}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{3}{5},y=-1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-10x-3y=9,-5x+5y=-2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&-3\\-5&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{-3}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}&-\frac{10}{-10\times 5-\left(-3\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{3}{65}\\-\frac{1}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 9-\frac{3}{65}\left(-2\right)\\-\frac{1}{13}\times 9+\frac{2}{13}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{3}{5},y=-1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-10x-3y=9,-5x+5y=-2$$

Para que -10x e -5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -5 e todos os termos a cada lado da segunda por -10.

$$-5\left(-10\right)x-5\left(-3\right)y=-5\times 9,-10\left(-5\right)x-10\times 5y=-10\left(-2\right)$$

Simplifica.

$$50x+15y=-45,50x-50y=20$$

Resta 50x-50y=20 de 50x+15y=-45 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$50x-50x+15y+50y=-45-20$$

Suma 50x a -50x. 50x e -50x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$15y+50y=-45-20$$

Suma 15y a 50y.

$$65y=-45-20$$

Suma -45 a -20.

$$65y=-65$$

Divide ambos lados entre 65.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en -5x+5y=-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-5x+5\left(-1\right)=-2$$

Multiplica 5 por -1.

$$-5x-5=-2$$

Suma 5 en ambos lados da ecuación.

$$-5x=3$$

Divide ambos lados entre -5.

$$x=-\frac{3}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{3}{5},y=-1$$