Resolver {l}{-10x+3y=-2}{4x-y=8}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 10 x + 3 y = - 2 } \\ { 4 x - y = 8 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=11$$

$$y=36$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-10x+3y=-2,4x-y=8$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-10x+3y=-2$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$-10x=-3y-2$$

Divide ambos lados entre -10.

$$x=-\frac{1}{10}\left(-3y-2\right)$$

Multiplica -\frac{1}{10} por -3y-2.

$$x=\frac{3}{10}y+\frac{1}{5}$$

Substitúe x por \frac{3y}{10}+\frac{1}{5} na outra ecuación, 4x-y=8.

$$4\left(\frac{3}{10}y+\frac{1}{5}\right)-y=8$$

Multiplica 4 por \frac{3y}{10}+\frac{1}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{4}{5}-y=8$$

Suma \frac{6y}{5} a -y.

$$\frac{1}{5}y+\frac{4}{5}=8$$

Resta \frac{4}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{5}y=\frac{36}{5}$$

Multiplica ambos lados por 5.

$$y=36$$

Substitúe y por 36 en x=\frac{3}{10}y+\frac{1}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{10}\times 36+\frac{1}{5}$$

Multiplica \frac{3}{10} por 36.

$$x=\frac{54+1}{5}$$

Suma \frac{1}{5} a \frac{54}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=11$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=11,y=36$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-10x+3y=-2,4x-y=8$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-10&3\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-10\left(-1\right)-3\times 4}&-\frac{3}{-10\left(-1\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{-10\left(-1\right)-3\times 4}&-\frac{10}{-10\left(-1\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-2\right)+\frac{3}{2}\times 8\\2\left(-2\right)+5\times 8\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\36\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=11,y=36$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-10x+3y=-2,4x-y=8$$

Para que -10x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por -10.

$$4\left(-10\right)x+4\times 3y=4\left(-2\right),-10\times 4x-10\left(-1\right)y=-10\times 8$$

Simplifica.

$$-40x+12y=-8,-40x+10y=-80$$

Resta -40x+10y=-80 de -40x+12y=-8 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-40x+40x+12y-10y=-8+80$$

Suma -40x a 40x. -40x e 40x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$12y-10y=-8+80$$

Suma 12y a -10y.

$$2y=-8+80$$

Suma -8 a 80.

$$2y=72$$

Divide ambos lados entre 2.

$$y=36$$

Substitúe y por 36 en 4x-y=8. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x-36=8$$

Suma 36 en ambos lados da ecuación.

$$4x=44$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=11$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=11,y=36$$