Resolver {l}{-(-x-y)-4(y-x)=8}{3x-1+2(y+3)-5=20}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - ( - x - y ) - 4 ( y - x ) = 8 } \\ { 3 x - 1 + 2 ( y + 3 ) - 5 = 20 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=4$$

$$y=4$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Para calcular o oposto de -x-y, calcula o oposto de cada termo.

$$-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -4 por y-x.

$$-\left(-x\right)+y-4y+4x=8$$

Combina y e -4y para obter -3y.

$$-\left(-x\right)-3y+4x=8$$

Multiplica -1 e -1 para obter 1.

$$x-3y+4x=8$$

Combina x e 4x para obter 5x.

$$5x-3y=8$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por y+3.

$$3x-1+2y+6-5=20$$

Suma -1 e 6 para obter 5.

$$3x+5+2y-5=20$$

Resta 5 de 5 para obter 0.

$$3x+2y=20$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-3y=8$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$5x=3y+8$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+8\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por 3y+8.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}$$

Substitúe x por \frac{3y+8}{5} na outra ecuación, 3x+2y=20.

$$3\left(\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}\right)+2y=20$$

Multiplica 3 por \frac{3y+8}{5}.

$$\frac{9}{5}y+\frac{24}{5}+2y=20$$

Suma \frac{9y}{5} a 2y.

$$\frac{19}{5}y+\frac{24}{5}=20$$

Resta \frac{24}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{19}{5}y=\frac{76}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{19}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en x=\frac{3}{5}y+\frac{8}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{5}\times 4+\frac{8}{5}$$

Multiplica \frac{3}{5} por 4.

$$x=\frac{12+8}{5}$$

Suma \frac{8}{5} a \frac{12}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=4$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Para calcular o oposto de -x-y, calcula o oposto de cada termo.

$$-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -4 por y-x.

$$-\left(-x\right)+y-4y+4x=8$$

Combina y e -4y para obter -3y.

$$-\left(-x\right)-3y+4x=8$$

Multiplica -1 e -1 para obter 1.

$$x-3y+4x=8$$

Combina x e 4x para obter 5x.

$$5x-3y=8$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por y+3.

$$3x-1+2y+6-5=20$$

Suma -1 e 6 para obter 5.

$$3x+5+2y-5=20$$

Resta 5 de 5 para obter 0.

$$3x+2y=20$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\20\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 8+\frac{3}{19}\times 20\\-\frac{3}{19}\times 8+\frac{5}{19}\times 20\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=4,y=4$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Para calcular o oposto de -x-y, calcula o oposto de cada termo.

$$-\left(-x\right)+y-4\left(y-x\right)=8$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -4 por y-x.

$$-\left(-x\right)+y-4y+4x=8$$

Combina y e -4y para obter -3y.

$$-\left(-x\right)-3y+4x=8$$

Multiplica -1 e -1 para obter 1.

$$x-3y+4x=8$$

Combina x e 4x para obter 5x.

$$5x-3y=8$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por y+3.

$$3x-1+2y+6-5=20$$

Suma -1 e 6 para obter 5.

$$3x+5+2y-5=20$$

Resta 5 de 5 para obter 0.

$$3x+2y=20$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-3y=8,3x+2y=20$$

Para que 5x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$3\times 5x+3\left(-3\right)y=3\times 8,5\times 3x+5\times 2y=5\times 20$$

Simplifica.

$$15x-9y=24,15x+10y=100$$

Resta 15x+10y=100 de 15x-9y=24 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$15x-15x-9y-10y=24-100$$

Suma 15x a -15x. 15x e -15x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-9y-10y=24-100$$

Suma -9y a -10y.

$$-19y=24-100$$

Suma 24 a -100.

$$-19y=-76$$

Divide ambos lados entre -19.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en 3x+2y=20. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+2\times 4=20$$

Multiplica 2 por 4.

$$3x+8=20$$

Resta 8 en ambos lados da ecuación.

$$3x=12$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=4,y=4$$