Resolver {l}{(x-y)(x+1)=(x-2)^2-xy}{1-2(x+y)=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x - y ) ( x + 1 ) = ( x - 2 ) ^ { 2 } - x y } \\ { 1 - 2 ( x + y ) = - 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y=\frac{1}{6}\approx 0.166666667$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar x-y por x+1.

$$x^{2}+x-yx-y=\left(x-2\right)^{2}-xy$$

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}+x-yx-y=x^{2}-4x+4-xy$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$x^{2}+x-yx-y-x^{2}=-4x+4-xy$$

Combina x^{2} e -x^{2} para obter 0.

$$x-yx-y=-4x+4-xy$$

Engadir 4x en ambos lados.

$$x-yx-y+4x=4-xy$$

Combina x e 4x para obter 5x.

$$5x-yx-y=4-xy$$

Engadir xy en ambos lados.

$$5x-yx-y+xy=4$$

Combina -yx e xy para obter 0.

$$5x-y=4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2 por x+y.

$$1-2x-2y=-1$$

Resta 1 en ambos lados.

$$-2x-2y=-1-1$$

Resta 1 de -1 para obter -2.

$$-2x-2y=-2$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-y=4,-2x-2y=-2$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-y=4$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$5x=y+4$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+4\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por y+4.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{4}{5}$$

Substitúe x por \frac{4+y}{5} na outra ecuación, -2x-2y=-2.

$$-2\left(\frac{1}{5}y+\frac{4}{5}\right)-2y=-2$$

Multiplica -2 por \frac{4+y}{5}.

$$-\frac{2}{5}y-\frac{8}{5}-2y=-2$$

Suma -\frac{2y}{5} a -2y.

$$-\frac{12}{5}y-\frac{8}{5}=-2$$

Suma \frac{8}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{12}{5}y=-\frac{2}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{12}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{1}{6}$$

Substitúe y por \frac{1}{6} en x=\frac{1}{5}y+\frac{4}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{5}\times \frac{1}{6}+\frac{4}{5}$$

Multiplica \frac{1}{5} por \frac{1}{6} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{1}{30}+\frac{4}{5}$$

Suma \frac{4}{5} a \frac{1}{30} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{5}{6}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{1}{6}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar x-y por x+1.

$$x^{2}+x-yx-y=\left(x-2\right)^{2}-xy$$

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}+x-yx-y=x^{2}-4x+4-xy$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$x^{2}+x-yx-y-x^{2}=-4x+4-xy$$

Combina x^{2} e -x^{2} para obter 0.

$$x-yx-y=-4x+4-xy$$

Engadir 4x en ambos lados.

$$x-yx-y+4x=4-xy$$

Combina x e 4x para obter 5x.

$$5x-yx-y=4-xy$$

Engadir xy en ambos lados.

$$5x-yx-y+xy=4$$

Combina -yx e xy para obter 0.

$$5x-y=4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2 por x+y.

$$1-2x-2y=-1$$

Resta 1 en ambos lados.

$$-2x-2y=-1-1$$

Resta 1 de -1 para obter -2.

$$-2x-2y=-2$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-y=4,-2x-2y=-2$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-1\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\left(-2\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\left(-2\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{12}\\-\frac{1}{6}&-\frac{5}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 4-\frac{1}{12}\left(-2\right)\\-\frac{1}{6}\times 4-\frac{5}{12}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{1}{6}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar x-y por x+1.

$$x^{2}+x-yx-y=\left(x-2\right)^{2}-xy$$

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}+x-yx-y=x^{2}-4x+4-xy$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$x^{2}+x-yx-y-x^{2}=-4x+4-xy$$

Combina x^{2} e -x^{2} para obter 0.

$$x-yx-y=-4x+4-xy$$

Engadir 4x en ambos lados.

$$x-yx-y+4x=4-xy$$

Combina x e 4x para obter 5x.

$$5x-yx-y=4-xy$$

Engadir xy en ambos lados.

$$5x-yx-y+xy=4$$

Combina -yx e xy para obter 0.

$$5x-y=4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2 por x+y.

$$1-2x-2y=-1$$

Resta 1 en ambos lados.

$$-2x-2y=-1-1$$

Resta 1 de -1 para obter -2.

$$-2x-2y=-2$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-y=4,-2x-2y=-2$$

Para que 5x e -2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -2 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$-2\times 5x-2\left(-1\right)y=-2\times 4,5\left(-2\right)x+5\left(-2\right)y=5\left(-2\right)$$

Simplifica.

$$-10x+2y=-8,-10x-10y=-10$$

Resta -10x-10y=-10 de -10x+2y=-8 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-10x+10x+2y+10y=-8+10$$

Suma -10x a 10x. -10x e 10x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y+10y=-8+10$$

Suma 2y a 10y.

$$12y=-8+10$$

Suma -8 a 10.

$$12y=2$$

Divide ambos lados entre 12.

$$y=\frac{1}{6}$$

Substitúe y por \frac{1}{6} en -2x-2y=-2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-2x-2\times \frac{1}{6}=-2$$

Multiplica -2 por \frac{1}{6}.

$$-2x-\frac{1}{3}=-2$$

Suma \frac{1}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-2x=-\frac{5}{3}$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=\frac{5}{6}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{1}{6}$$