Resolver {l}{(x-2)^2-2(x-2y)=1-(3-x)(3+x)}{2x+y=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x - 2 ) ^ { 2 } - 2 ( x - 2 y ) = 1 - ( 3 - x ) ( 3 + x ) } \\ { 2 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=0$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2 por x-2y.

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Combina -4x e -2x para obter -6x.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Considera \left(3-x\right)\left(3+x\right). A multiplicación pódese transformar na diferencia de cadrados mediante a regra: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Eleva 3 ao cadrado.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

Para calcular o oposto de 9-x^{2}, calcula o oposto de cada termo.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

Resta 9 de 1 para obter -8.

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

Combina x^{2} e -x^{2} para obter 0.

$$-6x+4+4y=-8$$

Resta 4 en ambos lados.

$$-6x+4y=-8-4$$

Resta 4 de -8 para obter -12.

$$-6x+4y=-12$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-6x+4y=-12$$

Resta 4y en ambos lados da ecuación.

$$-6x=-4y-12$$

Divide ambos lados entre -6.

$$x=-\frac{1}{6}\left(-4y-12\right)$$

Multiplica -\frac{1}{6} por -4y-12.

$$x=\frac{2}{3}y+2$$

Substitúe x por \frac{2y}{3}+2 na outra ecuación, 2x+y=4.

$$2\left(\frac{2}{3}y+2\right)+y=4$$

Multiplica 2 por \frac{2y}{3}+2.

$$\frac{4}{3}y+4+y=4$$

Suma \frac{4y}{3} a y.

$$\frac{7}{3}y+4=4$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{7}{3}y=0$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{7}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en x=\frac{2}{3}y+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=0$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2 por x-2y.

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Combina -4x e -2x para obter -6x.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Considera \left(3-x\right)\left(3+x\right). A multiplicación pódese transformar na diferencia de cadrados mediante a regra: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Eleva 3 ao cadrado.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

Para calcular o oposto de 9-x^{2}, calcula o oposto de cada termo.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

Resta 9 de 1 para obter -8.

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

Combina x^{2} e -x^{2} para obter 0.

$$-6x+4+4y=-8$$

Resta 4 en ambos lados.

$$-6x+4y=-8-4$$

Resta 4 de -8 para obter -12.

$$-6x+4y=-12$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-6-4\times 2}&-\frac{4}{-6-4\times 2}\\-\frac{2}{-6-4\times 2}&-\frac{6}{-6-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}&\frac{2}{7}\\\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\left(-12\right)+\frac{2}{7}\times 4\\\frac{1}{7}\left(-12\right)+\frac{3}{7}\times 4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=0$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4-2\left(x-2y\right)=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2 por x-2y.

$$x^{2}-4x+4-2x+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Combina -4x e -2x para obter -6x.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(3-x\right)\left(3+x\right)$$

Considera \left(3-x\right)\left(3+x\right). A multiplicación pódese transformar na diferencia de cadrados mediante a regra: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Eleva 3 ao cadrado.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-\left(9-x^{2}\right)$$

Para calcular o oposto de 9-x^{2}, calcula o oposto de cada termo.

$$x^{2}-6x+4+4y=1-9+x^{2}$$

Resta 9 de 1 para obter -8.

$$x^{2}-6x+4+4y=-8+x^{2}$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$x^{2}-6x+4+4y-x^{2}=-8$$

Combina x^{2} e -x^{2} para obter 0.

$$-6x+4+4y=-8$$

Resta 4 en ambos lados.

$$-6x+4y=-8-4$$

Resta 4 de -8 para obter -12.

$$-6x+4y=-12$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-6x+4y=-12,2x+y=4$$

Para que -6x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por -6.

$$2\left(-6\right)x+2\times 4y=2\left(-12\right),-6\times 2x-6y=-6\times 4$$

Simplifica.

$$-12x+8y=-24,-12x-6y=-24$$

Resta -12x-6y=-24 de -12x+8y=-24 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-12x+12x+8y+6y=-24+24$$

Suma -12x a 12x. -12x e 12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$8y+6y=-24+24$$

Suma 8y a 6y.

$$14y=-24+24$$

Suma -24 a 24.

$$14y=0$$

Divide ambos lados entre 14.

$$y=0$$

Substitúe y por 0 en 2x+y=4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x=4$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=0$$