Resolver {l}{(x+2)(5-y)+2=x(1-y)}{2(x-3y)-3(x+y)+16=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x + 2 ) ( 5 - y ) + 2 = x ( 1 - y ) } \\ { 2 ( x - 3 y ) - 3 ( x + y ) + 16 = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-2$$

$$y=2$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+2 por 5-y.

$$5x-xy+10-2y+2=x\left(1-y\right)$$

Suma 10 e 2 para obter 12.

$$5x-xy+12-2y=x\left(1-y\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x por 1-y.

$$5x-xy+12-2y=x-xy$$

Resta x en ambos lados.

$$5x-xy+12-2y-x=-xy$$

Combina 5x e -x para obter 4x.

$$4x-xy+12-2y=-xy$$

Engadir xy en ambos lados.

$$4x-xy+12-2y+xy=0$$

Combina -xy e xy para obter 0.

$$4x+12-2y=0$$

Resta 12 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$4x-2y=-12$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x-3y.

$$2x-6y-3\left(x+y\right)+16=0$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -3 por x+y.

$$2x-6y-3x-3y+16=0$$

Combina 2x e -3x para obter -x.

$$-x-6y-3y+16=0$$

Combina -6y e -3y para obter -9y.

$$-x-9y+16=0$$

Resta 16 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$-x-9y=-16$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x-2y=-12,-x-9y=-16$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x-2y=-12$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$4x=2y-12$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y-12\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -12+2y.

$$x=\frac{1}{2}y-3$$

Substitúe x por \frac{y}{2}-3 na outra ecuación, -x-9y=-16.

$$-\left(\frac{1}{2}y-3\right)-9y=-16$$

Multiplica -1 por \frac{y}{2}-3.

$$-\frac{1}{2}y+3-9y=-16$$

Suma -\frac{y}{2} a -9y.

$$-\frac{19}{2}y+3=-16$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{19}{2}y=-19$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{19}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en x=\frac{1}{2}y-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{2}\times 2-3$$

Multiplica \frac{1}{2} por 2.

$$x=1-3$$

Suma -3 a 1.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=2$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+2 por 5-y.

$$5x-xy+10-2y+2=x\left(1-y\right)$$

Suma 10 e 2 para obter 12.

$$5x-xy+12-2y=x\left(1-y\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x por 1-y.

$$5x-xy+12-2y=x-xy$$

Resta x en ambos lados.

$$5x-xy+12-2y-x=-xy$$

Combina 5x e -x para obter 4x.

$$4x-xy+12-2y=-xy$$

Engadir xy en ambos lados.

$$4x-xy+12-2y+xy=0$$

Combina -xy e xy para obter 0.

$$4x+12-2y=0$$

Resta 12 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$4x-2y=-12$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x-3y.

$$2x-6y-3\left(x+y\right)+16=0$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -3 por x+y.

$$2x-6y-3x-3y+16=0$$

Combina 2x e -3x para obter -x.

$$-x-6y-3y+16=0$$

Combina -6y e -3y para obter -9y.

$$-x-9y+16=0$$

Resta 16 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$-x-9y=-16$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x-2y=-12,-x-9y=-16$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\-1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-12\\-16\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&-2\\-1&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\-1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-16\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\-1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-12\\-16\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{4\left(-9\right)-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{-2}{4\left(-9\right)-\left(-2\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4\left(-9\right)-\left(-2\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4\left(-9\right)-\left(-2\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{38}&-\frac{1}{19}\\-\frac{1}{38}&-\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-12\\-16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{38}\left(-12\right)-\frac{1}{19}\left(-16\right)\\-\frac{1}{38}\left(-12\right)-\frac{2}{19}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\2\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-2,y=2$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar x+2 por 5-y.

$$5x-xy+10-2y+2=x\left(1-y\right)$$

Suma 10 e 2 para obter 12.

$$5x-xy+12-2y=x\left(1-y\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar x por 1-y.

$$5x-xy+12-2y=x-xy$$

Resta x en ambos lados.

$$5x-xy+12-2y-x=-xy$$

Combina 5x e -x para obter 4x.

$$4x-xy+12-2y=-xy$$

Engadir xy en ambos lados.

$$4x-xy+12-2y+xy=0$$

Combina -xy e xy para obter 0.

$$4x+12-2y=0$$

Resta 12 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$4x-2y=-12$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x-3y.

$$2x-6y-3\left(x+y\right)+16=0$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -3 por x+y.

$$2x-6y-3x-3y+16=0$$

Combina 2x e -3x para obter -x.

$$-x-6y-3y+16=0$$

Combina -6y e -3y para obter -9y.

$$-x-9y+16=0$$

Resta 16 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$-x-9y=-16$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x-2y=-12,-x-9y=-16$$

Para que 4x e -x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$-4x-\left(-2y\right)=-\left(-12\right),4\left(-1\right)x+4\left(-9\right)y=4\left(-16\right)$$

Simplifica.

$$-4x+2y=12,-4x-36y=-64$$

Resta -4x-36y=-64 de -4x+2y=12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-4x+4x+2y+36y=12+64$$

Suma -4x a 4x. -4x e 4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$2y+36y=12+64$$

Suma 2y a 36y.

$$38y=12+64$$

Suma 12 a 64.

$$38y=76$$

Divide ambos lados entre 38.

$$y=2$$

Substitúe y por 2 en -x-9y=-16. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-x-9\times 2=-16$$

Multiplica -9 por 2.

$$-x-18=-16$$

Suma 18 en ambos lados da ecuación.

$$-x=2$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=-2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-2,y=2$$