Resolver {l}{(x+2)^2+1=x^2+5y}{3x+y=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { ( x + 2 ) ^ { 2 } + 1 = x ^ { 2 } + 5 y } \\ { 3 x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=0$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Suma 4 e 1 para obter 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Combina x^{2} e -x^{2} para obter 0.

$$4x+5=5y$$

Resta 5y en ambos lados.

$$4x+5-5y=0$$

Resta 5 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$4x-5y=-5$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$4x-5y=-5$$

Suma 5y en ambos lados da ecuación.

$$4x=5y-5$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y-5\right)$$

Multiplica \frac{1}{4} por -5+5y.

$$x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}$$

Substitúe x por \frac{-5+5y}{4} na outra ecuación, 3x+y=1.

$$3\left(\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}\right)+y=1$$

Multiplica 3 por \frac{-5+5y}{4}.

$$\frac{15}{4}y-\frac{15}{4}+y=1$$

Suma \frac{15y}{4} a y.

$$\frac{19}{4}y-\frac{15}{4}=1$$

Suma \frac{15}{4} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{19}{4}y=\frac{19}{4}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{19}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x=\frac{5}{4}y-\frac{5}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{5-5}{4}$$

Suma -\frac{5}{4} a \frac{5}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Suma 4 e 1 para obter 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Combina x^{2} e -x^{2} para obter 0.

$$4x+5=5y$$

Resta 5y en ambos lados.

$$4x+5-5y=0$$

Resta 5 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$4x-5y=-5$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-5\times 3\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\left(-5\right)+\frac{5}{19}\\-\frac{3}{19}\left(-5\right)+\frac{4}{19}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=0,y=1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}+4x+4+1=x^{2}+5y$$

Suma 4 e 1 para obter 5.

$$x^{2}+4x+5=x^{2}+5y$$

Resta x^{2} en ambos lados.

$$x^{2}+4x+5-x^{2}=5y$$

Combina x^{2} e -x^{2} para obter 0.

$$4x+5=5y$$

Resta 5y en ambos lados.

$$4x+5-5y=0$$

Resta 5 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$4x-5y=-5$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$4x-5y=-5,3x+y=1$$

Para que 4x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 4.

$$3\times 4x+3\left(-5\right)y=3\left(-5\right),4\times 3x+4y=4$$

Simplifica.

$$12x-15y=-15,12x+4y=4$$

Resta 12x+4y=4 de 12x-15y=-15 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12x-12x-15y-4y=-15-4$$

Suma 12x a -12x. 12x e -12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-15y-4y=-15-4$$

Suma -15y a -4y.

$$-19y=-15-4$$

Suma -15 a -4.

$$-19y=-19$$

Divide ambos lados entre -19.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en 3x+y=1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+1=1$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$3x=0$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=0$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=0,y=1$$