Resolver {l}{x/6-y=-1}{3x-2y=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 6 } - y = - 1 } \\ { 3 x - 2 y = 6 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$\frac{1}{6}x-y=-1,3x-2y=6$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$\frac{1}{6}x-y=-1$$

Suma y en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{6}x=y-1$$

Multiplica ambos lados por 6.

$$x=6\left(y-1\right)$$

Multiplica 6 por y-1.

$$x=6y-6$$

Substitúe x por -6+6y na outra ecuación, 3x-2y=6.

$$3\left(6y-6\right)-2y=6$$

Multiplica 3 por -6+6y.

$$18y-18-2y=6$$

Suma 18y a -2y.

$$16y-18=6$$

Suma 18 en ambos lados da ecuación.

$$16y=24$$

Divide ambos lados entre 16.

$$y=\frac{3}{2}$$

Substitúe y por \frac{3}{2} en x=6y-6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=6\times \frac{3}{2}-6$$

Multiplica 6 por \frac{3}{2}.

$$x=9-6$$

Suma -6 a 9.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=\frac{3}{2}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$\frac{1}{6}x-y=-1,3x-2y=6$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{\frac{1}{6}\left(-2\right)-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{\frac{1}{6}\left(-2\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{\frac{1}{6}\left(-2\right)-\left(-3\right)}&\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{6}\left(-2\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}&\frac{3}{8}\\-\frac{9}{8}&\frac{1}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\6\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\left(-1\right)+\frac{3}{8}\times 6\\-\frac{9}{8}\left(-1\right)+\frac{1}{16}\times 6\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=\frac{3}{2}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$\frac{1}{6}x-y=-1,3x-2y=6$$

Para que \frac{x}{6} e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por \frac{1}{6}.

$$3\times \frac{1}{6}x+3\left(-1\right)y=3\left(-1\right),\frac{1}{6}\times 3x+\frac{1}{6}\left(-2\right)y=\frac{1}{6}\times 6$$

Simplifica.

$$\frac{1}{2}x-3y=-3,\frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y=1$$

Resta \frac{1}{2}x-\frac{1}{3}y=1 de \frac{1}{2}x-3y=-3 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}x-3y+\frac{1}{3}y=-3-1$$

Suma \frac{x}{2} a -\frac{x}{2}. \frac{x}{2} e -\frac{x}{2} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-3y+\frac{1}{3}y=-3-1$$

Suma -3y a \frac{y}{3}.

$$-\frac{8}{3}y=-3-1$$

Suma -3 a -1.

$$-\frac{8}{3}y=-4$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{8}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{3}{2}$$

Substitúe y por \frac{3}{2} en 3x-2y=6. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x-2\times \frac{3}{2}=6$$

Multiplica -2 por \frac{3}{2}.

$$3x-3=6$$

Suma 3 en ambos lados da ecuación.

$$3x=9$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=\frac{3}{2}$$