Resolver {l}{x/6-y/5=-4}{x/4-y/6=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 6 } - \frac { y } { 5 } = - 4 } \\ { \frac { x } { 4 } - \frac { y } { 6 } = - 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=12$$

$$y=30$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 30, o mínimo común denominador de 6,5.

$$5x-6y=-120$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12, o mínimo común denominador de 4,6.

$$3x-2y=-24$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$5x-6y=-120$$

Suma 6y en ambos lados da ecuación.

$$5x=6y-120$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y-120\right)$$

Multiplica \frac{1}{5} por -120+6y.

$$x=\frac{6}{5}y-24$$

Substitúe x por \frac{6y}{5}-24 na outra ecuación, 3x-2y=-24.

$$3\left(\frac{6}{5}y-24\right)-2y=-24$$

Multiplica 3 por \frac{6y}{5}-24.

$$\frac{18}{5}y-72-2y=-24$$

Suma \frac{18y}{5} a -2y.

$$\frac{8}{5}y-72=-24$$

Suma 72 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{8}{5}y=48$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{8}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=30$$

Substitúe y por 30 en x=\frac{6}{5}y-24. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{6}{5}\times 30-24$$

Multiplica \frac{6}{5} por 30.

$$x=36-24$$

Suma -24 a 36.

$$x=12$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=12,y=30$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 30, o mínimo común denominador de 6,5.

$$5x-6y=-120$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12, o mínimo común denominador de 4,6.

$$3x-2y=-24$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}&-\frac{-6}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\\-\frac{3}{8}&\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-120\\-24\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-120\right)+\frac{3}{4}\left(-24\right)\\-\frac{3}{8}\left(-120\right)+\frac{5}{8}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\30\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=12,y=30$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 30, o mínimo común denominador de 6,5.

$$5x-6y=-120$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12, o mínimo común denominador de 4,6.

$$3x-2y=-24$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$5x-6y=-120,3x-2y=-24$$

Para que 5x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 5.

$$3\times 5x+3\left(-6\right)y=3\left(-120\right),5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\left(-24\right)$$

Simplifica.

$$15x-18y=-360,15x-10y=-120$$

Resta 15x-10y=-120 de 15x-18y=-360 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$15x-15x-18y+10y=-360+120$$

Suma 15x a -15x. 15x e -15x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-18y+10y=-360+120$$

Suma -18y a 10y.

$$-8y=-360+120$$

Suma -360 a 120.

$$-8y=-240$$

Divide ambos lados entre -8.

$$y=30$$

Substitúe y por 30 en 3x-2y=-24. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x-2\times 30=-24$$

Multiplica -2 por 30.

$$3x-60=-24$$

Suma 60 en ambos lados da ecuación.

$$3x=36$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=12$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=12,y=30$$