Resolver {l}{x/4+y/2=7}{x/3-y/4=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 4 } + \frac { y } { 2 } = 7 } \\ { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 4 } = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=12$$

$$y=8$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 4, o mínimo común denominador de 4,2.

$$x+2y=28$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12, o mínimo común denominador de 3,4.

$$4x-3y=24$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+2y=28$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$x=-2y+28$$

Substitúe x por -2y+28 na outra ecuación, 4x-3y=24.

$$4\left(-2y+28\right)-3y=24$$

Multiplica 4 por -2y+28.

$$-8y+112-3y=24$$

Suma -8y a -3y.

$$-11y+112=24$$

Resta 112 en ambos lados da ecuación.

$$-11y=-88$$

Divide ambos lados entre -11.

$$y=8$$

Substitúe y por 8 en x=-2y+28. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-2\times 8+28$$

Multiplica -2 por 8.

$$x=-16+28$$

Suma 28 a -16.

$$x=12$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=12,y=8$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 4, o mínimo común denominador de 4,2.

$$x+2y=28$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12, o mínimo común denominador de 3,4.

$$4x-3y=24$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-2\times 4}&-\frac{2}{-3-2\times 4}\\-\frac{4}{-3-2\times 4}&\frac{1}{-3-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&\frac{2}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}28\\24\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 28+\frac{2}{11}\times 24\\\frac{4}{11}\times 28-\frac{1}{11}\times 24\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\8\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=12,y=8$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 4, o mínimo común denominador de 4,2.

$$x+2y=28$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12, o mínimo común denominador de 3,4.

$$4x-3y=24$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$x+2y=28,4x-3y=24$$

Para que x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 1.

$$4x+4\times 2y=4\times 28,4x-3y=24$$

Simplifica.

$$4x+8y=112,4x-3y=24$$

Resta 4x-3y=24 de 4x+8y=112 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$4x-4x+8y+3y=112-24$$

Suma 4x a -4x. 4x e -4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$8y+3y=112-24$$

Suma 8y a 3y.

$$11y=112-24$$

Suma 112 a -24.

$$11y=88$$

Divide ambos lados entre 11.

$$y=8$$

Substitúe y por 8 en 4x-3y=24. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x-3\times 8=24$$

Multiplica -3 por 8.

$$4x-24=24$$

Suma 24 en ambos lados da ecuación.

$$4x=48$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=12$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=12,y=8$$