Resolver {l}{x/3-y/2=4}{x+y/12=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 2 } = 4 } \\ { x + \frac { y } { 12 } = 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{48}{19} = 2\frac{10}{19} \approx 2.526315789$$

$$y = -\frac{120}{19} = -6\frac{6}{19} \approx -6.315789474$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 3,2.

$$2x-3y=24$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12.

$$12x+y=24$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-3y=24$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=3y+24$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y+24\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 24+3y.

$$x=\frac{3}{2}y+12$$

Substitúe x por \frac{3y}{2}+12 na outra ecuación, 12x+y=24.

$$12\left(\frac{3}{2}y+12\right)+y=24$$

Multiplica 12 por \frac{3y}{2}+12.

$$18y+144+y=24$$

Suma 18y a y.

$$19y+144=24$$

Resta 144 en ambos lados da ecuación.

$$19y=-120$$

Divide ambos lados entre 19.

$$y=-\frac{120}{19}$$

Substitúe y por -\frac{120}{19} en x=\frac{3}{2}y+12. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{120}{19}\right)+12$$

Multiplica \frac{3}{2} por -\frac{120}{19} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{180}{19}+12$$

Suma 12 a -\frac{180}{19}.

$$x=\frac{48}{19}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 3,2.

$$2x-3y=24$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12.

$$12x+y=24$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\12&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-3\times 12\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 12\right)}\\-\frac{12}{2-\left(-3\times 12\right)}&\frac{2}{2-\left(-3\times 12\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{38}&\frac{3}{38}\\-\frac{6}{19}&\frac{1}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\24\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{38}\times 24+\frac{3}{38}\times 24\\-\frac{6}{19}\times 24+\frac{1}{19}\times 24\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{19}\\-\frac{120}{19}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 3,2.

$$2x-3y=24$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12.

$$12x+y=24$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-3y=24,12x+y=24$$

Para que 2x e 12x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 12 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$12\times 2x+12\left(-3\right)y=12\times 24,2\times 12x+2y=2\times 24$$

Simplifica.

$$24x-36y=288,24x+2y=48$$

Resta 24x+2y=48 de 24x-36y=288 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$24x-24x-36y-2y=288-48$$

Suma 24x a -24x. 24x e -24x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-36y-2y=288-48$$

Suma -36y a -2y.

$$-38y=288-48$$

Suma 288 a -48.

$$-38y=240$$

Divide ambos lados entre -38.

$$y=-\frac{120}{19}$$

Substitúe y por -\frac{120}{19} en 12x+y=24. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$12x-\frac{120}{19}=24$$

Suma \frac{120}{19} en ambos lados da ecuación.

$$12x=\frac{576}{19}$$

Divide ambos lados entre 12.

$$x=\frac{48}{19}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{48}{19},y=-\frac{120}{19}$$