Resolver {l}{x/3+y/4=2x-y/2-2-2y/6}{frac{2x+y}{5}-frac{y-2}{2}=frac{x+y-3}{4}-frac{y-x-1}{10}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 2 x - y } { 2 } - \frac { 2 - 2 y } { 6 } } \\ { \frac { 2 x + y } { 5 } - \frac { y - 2 } { 2 } = \frac { x + y - 3 } { 4 } - \frac { y - x - 1 } { 10 } } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=4$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12, o mínimo común denominador de 3,4,2,6.

$$4x+3y=6\left(2x-y\right)-2\left(2-2y\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 6 por 2x-y.

$$4x+3y=12x-6y-2\left(2-2y\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2 por 2-2y.

$$4x+3y=12x-6y-4+4y$$

Combina -6y e 4y para obter -2y.

$$4x+3y=12x-2y-4$$

Resta 12x en ambos lados.

$$4x+3y-12x=-2y-4$$

Combina 4x e -12x para obter -8x.

$$-8x+3y=-2y-4$$

Engadir 2y en ambos lados.

$$-8x+3y+2y=-4$$

Combina 3y e 2y para obter 5y.

$$-8x+5y=-4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 20, o mínimo común denominador de 5,2,4,10.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por 2x+y.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -10 por y-2.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Combina 4y e -10y para obter -6y.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 5 por x+y-3.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2 por y-x-1.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

Combina 5y e -2y para obter 3y.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

Combina 5x e 2x para obter 7x.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

Suma -15 e 2 para obter -13.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

Resta 7x en ambos lados.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

Combina 8x e -7x para obter x.

$$x-6y+20=3y-13$$

Resta 3y en ambos lados.

$$x-6y+20-3y=-13$$

Combina -6y e -3y para obter -9y.

$$x-9y+20=-13$$

Resta 20 en ambos lados.

$$x-9y=-13-20$$

Resta 20 de -13 para obter -33.

$$x-9y=-33$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$-8x+5y=-4,x-9y=-33$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$-8x+5y=-4$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$-8x=-5y-4$$

Divide ambos lados entre -8.

$$x=-\frac{1}{8}\left(-5y-4\right)$$

Multiplica -\frac{1}{8} por -5y-4.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{1}{2}$$

Substitúe x por \frac{5y}{8}+\frac{1}{2} na outra ecuación, x-9y=-33.

$$\frac{5}{8}y+\frac{1}{2}-9y=-33$$

Suma \frac{5y}{8} a -9y.

$$-\frac{67}{8}y+\frac{1}{2}=-33$$

Resta \frac{1}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{67}{8}y=-\frac{67}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{67}{8}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en x=\frac{5}{8}y+\frac{1}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{5}{8}\times 4+\frac{1}{2}$$

Multiplica \frac{5}{8} por 4.

$$x=\frac{5+1}{2}$$

Suma \frac{1}{2} a \frac{5}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=4$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12, o mínimo común denominador de 3,4,2,6.

$$4x+3y=6\left(2x-y\right)-2\left(2-2y\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 6 por 2x-y.

$$4x+3y=12x-6y-2\left(2-2y\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2 por 2-2y.

$$4x+3y=12x-6y-4+4y$$

Combina -6y e 4y para obter -2y.

$$4x+3y=12x-2y-4$$

Resta 12x en ambos lados.

$$4x+3y-12x=-2y-4$$

Combina 4x e -12x para obter -8x.

$$-8x+3y=-2y-4$$

Engadir 2y en ambos lados.

$$-8x+3y+2y=-4$$

Combina 3y e 2y para obter 5y.

$$-8x+5y=-4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 20, o mínimo común denominador de 5,2,4,10.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por 2x+y.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -10 por y-2.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Combina 4y e -10y para obter -6y.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 5 por x+y-3.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2 por y-x-1.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

Combina 5y e -2y para obter 3y.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

Combina 5x e 2x para obter 7x.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

Suma -15 e 2 para obter -13.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

Resta 7x en ambos lados.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

Combina 8x e -7x para obter x.

$$x-6y+20=3y-13$$

Resta 3y en ambos lados.

$$x-6y+20-3y=-13$$

Combina -6y e -3y para obter -9y.

$$x-9y+20=-13$$

Resta 20 en ambos lados.

$$x-9y=-13-20$$

Resta 20 de -13 para obter -33.

$$x-9y=-33$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-8x+5y=-4,x-9y=-33$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-8&5\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-33\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-8&5\\1&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&5\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&5\\1&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&5\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-33\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&5\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-33\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&5\\1&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-33\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{-8\left(-9\right)-5}&-\frac{5}{-8\left(-9\right)-5}\\-\frac{1}{-8\left(-9\right)-5}&-\frac{8}{-8\left(-9\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-33\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{67}&-\frac{5}{67}\\-\frac{1}{67}&-\frac{8}{67}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-33\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{67}\left(-4\right)-\frac{5}{67}\left(-33\right)\\-\frac{1}{67}\left(-4\right)-\frac{8}{67}\left(-33\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=4$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12, o mínimo común denominador de 3,4,2,6.

$$4x+3y=6\left(2x-y\right)-2\left(2-2y\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 6 por 2x-y.

$$4x+3y=12x-6y-2\left(2-2y\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2 por 2-2y.

$$4x+3y=12x-6y-4+4y$$

Combina -6y e 4y para obter -2y.

$$4x+3y=12x-2y-4$$

Resta 12x en ambos lados.

$$4x+3y-12x=-2y-4$$

Combina 4x e -12x para obter -8x.

$$-8x+3y=-2y-4$$

Engadir 2y en ambos lados.

$$-8x+3y+2y=-4$$

Combina 3y e 2y para obter 5y.

$$-8x+5y=-4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 20, o mínimo común denominador de 5,2,4,10.

$$4\left(2x+y\right)-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por 2x+y.

$$8x+4y-10\left(y-2\right)=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -10 por y-2.

$$8x+4y-10y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Combina 4y e -10y para obter -6y.

$$8x-6y+20=5\left(x+y-3\right)-2\left(y-x-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 5 por x+y-3.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2\left(y-x-1\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2 por y-x-1.

$$8x-6y+20=5x+5y-15-2y+2x+2$$

Combina 5y e -2y para obter 3y.

$$8x-6y+20=5x+3y-15+2x+2$$

Combina 5x e 2x para obter 7x.

$$8x-6y+20=7x+3y-15+2$$

Suma -15 e 2 para obter -13.

$$8x-6y+20=7x+3y-13$$

Resta 7x en ambos lados.

$$8x-6y+20-7x=3y-13$$

Combina 8x e -7x para obter x.

$$x-6y+20=3y-13$$

Resta 3y en ambos lados.

$$x-6y+20-3y=-13$$

Combina -6y e -3y para obter -9y.

$$x-9y+20=-13$$

Resta 20 en ambos lados.

$$x-9y=-13-20$$

Resta 20 de -13 para obter -33.

$$x-9y=-33$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-8x+5y=-4,x-9y=-33$$

Para que -8x e x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por -8.

$$-8x+5y=-4,-8x-8\left(-9\right)y=-8\left(-33\right)$$

Simplifica.

$$-8x+5y=-4,-8x+72y=264$$

Resta -8x+72y=264 de -8x+5y=-4 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-8x+8x+5y-72y=-4-264$$

Suma -8x a 8x. -8x e 8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$5y-72y=-4-264$$

Suma 5y a -72y.

$$-67y=-4-264$$

Suma -4 a -264.

$$-67y=-268$$

Divide ambos lados entre -67.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en x-9y=-33. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x-9\times 4=-33$$

Multiplica -9 por 4.

$$x-36=-33$$

Suma 36 en ambos lados da ecuación.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=4$$