Resolver {l}{x/2+y/6=11/2}{2x/5-frac{y}{3}=-frac{1}{5}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 6 } = 1 \frac { 1 } { 2 } } \\ { \frac { 2 x } { 5 } - \frac { y } { 3 } = - \frac { 1 } { 5 } } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 2,6.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

Multiplica 1 e 2 para obter 2.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

Suma 2 e 1 para obter 3.

$$3x+y=3\times 3$$

Multiplica 3 e 3 para obter 9.

$$3x+y=9$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 15, o mínimo común denominador de 5,3.

$$3\times 2x-5y=-3$$

Multiplica 3 e 2 para obter 6.

$$6x-5y=-3$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+y=9$$

Resta y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-y+9$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+9\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -y+9.

$$x=-\frac{1}{3}y+3$$

Substitúe x por -\frac{y}{3}+3 na outra ecuación, 6x-5y=-3.

$$6\left(-\frac{1}{3}y+3\right)-5y=-3$$

Multiplica 6 por -\frac{y}{3}+3.

$$-2y+18-5y=-3$$

Suma -2y a -5y.

$$-7y+18=-3$$

Resta 18 en ambos lados da ecuación.

$$-7y=-21$$

Divide ambos lados entre -7.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en x=-\frac{1}{3}y+3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{1}{3}\times 3+3$$

Multiplica -\frac{1}{3} por 3.

$$x=-1+3$$

Suma 3 a -1.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=3$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 2,6.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

Multiplica 1 e 2 para obter 2.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

Suma 2 e 1 para obter 3.

$$3x+y=3\times 3$$

Multiplica 3 e 3 para obter 9.

$$3x+y=9$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 15, o mínimo común denominador de 5,3.

$$3\times 2x-5y=-3$$

Multiplica 3 e 2 para obter 6.

$$6x-5y=-3$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-6}&-\frac{1}{3\left(-5\right)-6}\\-\frac{6}{3\left(-5\right)-6}&\frac{3}{3\left(-5\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\times 9+\frac{1}{21}\left(-3\right)\\\frac{2}{7}\times 9-\frac{1}{7}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=2,y=3$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 2,6.

$$3x+y=3\left(1\times 2+1\right)$$

Multiplica 1 e 2 para obter 2.

$$3x+y=3\left(2+1\right)$$

Suma 2 e 1 para obter 3.

$$3x+y=3\times 3$$

Multiplica 3 e 3 para obter 9.

$$3x+y=9$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 15, o mínimo común denominador de 5,3.

$$3\times 2x-5y=-3$$

Multiplica 3 e 2 para obter 6.

$$6x-5y=-3$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+y=9,6x-5y=-3$$

Para que 3x e 6x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 6 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$6\times 3x+6y=6\times 9,3\times 6x+3\left(-5\right)y=3\left(-3\right)$$

Simplifica.

$$18x+6y=54,18x-15y=-9$$

Resta 18x-15y=-9 de 18x+6y=54 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$18x-18x+6y+15y=54+9$$

Suma 18x a -18x. 18x e -18x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$6y+15y=54+9$$

Suma 6y a 15y.

$$21y=54+9$$

Suma 54 a 9.

$$21y=63$$

Divide ambos lados entre 21.

$$y=3$$

Substitúe y por 3 en 6x-5y=-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$6x-5\times 3=-3$$

Multiplica -5 por 3.

$$6x-15=-3$$

Suma 15 en ambos lados da ecuación.

$$6x=12$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=2,y=3$$