Resolver {l}{x/2+y/3=13/2}{x/3-frac{y}{4}=frac{3}{2}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } + \frac { y } { 3 } = \frac { 13 } { 2 } } \\ { \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 4 } = \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=9$$

$$y=6$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 2,3.

$$3x+2y=39$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12, o mínimo común denominador de 3,4,2.

$$4x-3y=18$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+2y=39,4x-3y=18$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+2y=39$$

Resta 2y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-2y+39$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+39\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -2y+39.

$$x=-\frac{2}{3}y+13$$

Substitúe x por -\frac{2y}{3}+13 na outra ecuación, 4x-3y=18.

$$4\left(-\frac{2}{3}y+13\right)-3y=18$$

Multiplica 4 por -\frac{2y}{3}+13.

$$-\frac{8}{3}y+52-3y=18$$

Suma -\frac{8y}{3} a -3y.

$$-\frac{17}{3}y+52=18$$

Resta 52 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{17}{3}y=-34$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{17}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=6$$

Substitúe y por 6 en x=-\frac{2}{3}y+13. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{2}{3}\times 6+13$$

Multiplica -\frac{2}{3} por 6.

$$x=-4+13$$

Suma 13 a -4.

$$x=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=9,y=6$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 2,3.

$$3x+2y=39$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12, o mínimo común denominador de 3,4,2.

$$4x-3y=18$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+2y=39,4x-3y=18$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\18\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\18\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-2\times 4}&-\frac{2}{3\left(-3\right)-2\times 4}\\-\frac{4}{3\left(-3\right)-2\times 4}&\frac{3}{3\left(-3\right)-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\18\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}&\frac{2}{17}\\\frac{4}{17}&-\frac{3}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\18\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{17}\times 39+\frac{2}{17}\times 18\\\frac{4}{17}\times 39-\frac{3}{17}\times 18\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\6\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=9,y=6$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 2,3.

$$3x+2y=39$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12, o mínimo común denominador de 3,4,2.

$$4x-3y=18$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+2y=39,4x-3y=18$$

Para que 3x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$4\times 3x+4\times 2y=4\times 39,3\times 4x+3\left(-3\right)y=3\times 18$$

Simplifica.

$$12x+8y=156,12x-9y=54$$

Resta 12x-9y=54 de 12x+8y=156 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$12x-12x+8y+9y=156-54$$

Suma 12x a -12x. 12x e -12x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$8y+9y=156-54$$

Suma 8y a 9y.

$$17y=156-54$$

Suma 156 a -54.

$$17y=102$$

Divide ambos lados entre 17.

$$y=6$$

Substitúe y por 6 en 4x-3y=18. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x-3\times 6=18$$

Multiplica -3 por 6.

$$4x-18=18$$

Suma 18 en ambos lados da ecuación.

$$4x=36$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=9,y=6$$