Resolver {l}{x^2/4+y^2/2=1}{x=my+1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1 } \\ { x = m y + 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}$$

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}$$

Pasos que usan substitución e fórmula cadrática

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 4, o mínimo común denominador de 4,2.

$$x^{2}+2y^{2}=4$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta my en ambos lados.

$$x-my=1$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$x+\left(-m\right)y=1,2y^{2}+x^{2}=4$$

Resolve o x en x+\left(-m\right)y=1 mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$x+\left(-m\right)y=1$$

Resta \left(-m\right)y en ambos lados da ecuación.

$$x=my+1$$

Substitúe x por my+1 na outra ecuación, 2y^{2}+x^{2}=4.

$$2y^{2}+\left(my+1\right)^{2}=4$$

Eleva my+1 ao cadrado.

$$2y^{2}+m^{2}y^{2}+2my+1=4$$

Suma 2y^{2} a m^{2}y^{2}.

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my+1=4$$

Resta 4 en ambos lados da ecuación.

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my-3=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 2+1m^{2}, b por 1\times 1\times 2m e c por -3 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{\left(2m\right)^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Eleva 1\times 1\times 2m ao cadrado.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Multiplica -4 por 2+1m^{2}.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+\left(-4m^{2}-8\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Multiplica -8-4m^{2} por -3.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+12m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Suma 4m^{2} a 24+12m^{2}.

$$y=\frac{-2m±\sqrt{16m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Obtén a raíz cadrada de 24+16m^{2}.

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

Multiplica 2 por 2+1m^{2}.

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4}$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} se ± é máis. Suma -2m a 2\sqrt{6+4m^{2}}.

$$y=\frac{2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

Divide -2m+2\sqrt{6+4m^{2}} entre 4+2m^{2}.

$$y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} se ± é menos. Resta 2\sqrt{6+4m^{2}} de -2m.

$$y=\frac{-2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

Divide -2m-2\sqrt{6+4m^{2}} entre 4+2m^{2}.

$$y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

Hai dúas solucións para y: \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} e -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}. Substitúe y por \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} na ecuación x=my+1 para obter a solución de x que satisfaga ambas ecuacións.

$$x=m\times \frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}+1$$

Multiplica m por \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}.

$$x=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m+1$$

Suma m\times \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} a 1.

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m$$

Agora substitúe y por -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} na ecuación x=my+1 e resólvea para atopar a solución de x que resolva ambas ecuacións.

$$x=m\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)+1$$

Multiplica m por -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}.

$$x=\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m+1$$

Suma m\left(-\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}\right) a 1.

$$x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m,y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}\text{ or }x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m,y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

Resolver x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}\text{; }x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}\text{, }&m\neq -\sqrt{2}i\text{ and }m\neq \sqrt{2}i\\x=\frac{5}{2}=2.5\text{, }y=\frac{3}{2m}\text{, }&m=-\sqrt{2}i\text{ or }m=\sqrt{2}i\end{matrix}\right.$$