Resolver {l}{x+2/y+5=x+7/y}{2x-4y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x + 2 } { y + 5 } = \frac { x + 7 } { y } } \\ { 2 x - 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = -\frac{29}{6} = -4\frac{5}{6} \approx -4.833333333$$

$$y = -\frac{13}{6} = -2\frac{1}{6} \approx -2.166666667$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. A variable y non pode ser igual a ningún dos valores -5,0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por y\left(y+5\right), o mínimo común denominador de y+5,y.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar y por x+2.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar y+5 por x+7.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

Resta yx en ambos lados.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

Combina yx e -yx para obter 0.

$$2y=7y+5x+35$$

Resta 7y en ambos lados.

$$2y-7y=5x+35$$

Combina 2y e -7y para obter -5y.

$$-5y=5x+35$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=-\frac{1}{5}\left(5x+35\right)$$

Multiplica -\frac{1}{5} por 35+5x.

$$y=-x-7$$

Substitúe y por -x-7 na outra ecuación, -4y+2x=-1.

$$-4\left(-x-7\right)+2x=-1$$

Multiplica -4 por -x-7.

$$4x+28+2x=-1$$

Suma 4x a 2x.

$$6x+28=-1$$

Resta 28 en ambos lados da ecuación.

$$6x=-29$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=-\frac{29}{6}$$

Substitúe x por -\frac{29}{6} en y=-x-7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$y=-\left(-\frac{29}{6}\right)-7$$

Multiplica -1 por -\frac{29}{6}.

$$y=\frac{29}{6}-7$$

Suma -7 a \frac{29}{6}.

$$y=-\frac{13}{6}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. A variable y non pode ser igual a ningún dos valores -5,0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por y\left(y+5\right), o mínimo común denominador de y+5,y.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar y por x+2.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar y+5 por x+7.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

Resta yx en ambos lados.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

Combina yx e -yx para obter 0.

$$2y=7y+5x+35$$

Resta 7y en ambos lados.

$$2y-7y=5x+35$$

Combina 2y e -7y para obter -5y.

$$-5y=5x+35$$

Resta 5x en ambos lados.

$$-5y-5x=35$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-5&-5\\-4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{-5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}&-\frac{5}{-5\times 2-\left(-5\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\-1\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\times 35-\frac{1}{6}\left(-1\right)\\-\frac{2}{15}\times 35+\frac{1}{6}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{6}\\-\frac{29}{6}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz y e x.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. A variable y non pode ser igual a ningún dos valores -5,0 porque a división entre cero non está definida. Multiplica ambos lados da ecuación por y\left(y+5\right), o mínimo común denominador de y+5,y.

$$y\left(x+2\right)=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar y por x+2.

$$yx+2y=\left(y+5\right)\left(x+7\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar y+5 por x+7.

$$yx+2y=yx+7y+5x+35$$

Resta yx en ambos lados.

$$yx+2y-yx=7y+5x+35$$

Combina yx e -yx para obter 0.

$$2y=7y+5x+35$$

Resta 7y en ambos lados.

$$2y-7y=5x+35$$

Combina 2y e -7y para obter -5y.

$$-5y=5x+35$$

Resta 5x en ambos lados.

$$-5y-5x=35$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$-5y-5x=35,-4y+2x=-1$$

Para que -5y e -4y sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -4 e todos os termos a cada lado da segunda por -5.

$$-4\left(-5\right)y-4\left(-5\right)x=-4\times 35,-5\left(-4\right)y-5\times 2x=-5\left(-1\right)$$

Simplifica.

$$20y+20x=-140,20y-10x=5$$

Resta 20y-10x=5 de 20y+20x=-140 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$20y-20y+20x+10x=-140-5$$

Suma 20y a -20y. 20y e -20y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$20x+10x=-140-5$$

Suma 20x a 10x.

$$30x=-140-5$$

Suma -140 a -5.

$$30x=-145$$

Divide ambos lados entre 30.

$$x=-\frac{29}{6}$$

Substitúe x por -\frac{29}{6} en -4y+2x=-1. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.

$$-4y+2\left(-\frac{29}{6}\right)=-1$$

Multiplica 2 por -\frac{29}{6}.

$$-4y-\frac{29}{3}=-1$$

Suma \frac{29}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-4y=\frac{26}{3}$$

Divide ambos lados entre -4.

$$y=-\frac{13}{6}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$y=-\frac{13}{6},x=-\frac{29}{6}$$