Resolver {l}{a/4-bln1/2+1/2=1+ln2}{a-2b=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { a } { 4 } - b \ln \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } = 1 + \ln 2 } \\ { a - 2 b = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a=2$$

$$b=1$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 4, o mínimo común denominador de 4,2.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)+2=4+4\ln(2)$$

Resta 2 en ambos lados.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=4+4\ln(2)-2$$

Resta 2 de 4 para obter 2.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=2+4\ln(2)$$

Multiplica ambos lados da ecuación por 4.

$$16\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=8+16\ln(2)$$

Multiplica ambos lados da ecuación por 4.

$$64\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=32+64\ln(2)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 64 por \frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2}).

$$64\times \frac{a}{4}+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

Descarta o máximo común divisor 4 en 64 e 4.

$$16a+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,a-2b=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32$$

Resta 64\ln(2)b en ambos lados da ecuación.

$$16a=\left(-64\ln(2)\right)b+64\ln(2)+32$$

Divide ambos lados entre 16.

$$a=\frac{1}{16}\left(\left(-64\ln(2)\right)b+64\ln(2)+32\right)$$

Multiplica \frac{1}{16} por -64\ln(2)b+32+64\ln(2).

$$a=\left(-4\ln(2)\right)b+4\ln(2)+2$$

Substitúe a por -4\ln(2)b+2+4\ln(2) na outra ecuación, a-2b=0.

$$\left(-4\ln(2)\right)b+4\ln(2)+2-2b=0$$

Suma -4\ln(2)b a -2b.

$$\left(-4\ln(2)-2\right)b+4\ln(2)+2=0$$

Resta 2+4\ln(2) en ambos lados da ecuación.

$$\left(-4\ln(2)-2\right)b=-4\ln(2)-2$$

Divide ambos lados entre -4\ln(2)-2.

$$b=1$$

Substitúe b por 1 en a=\left(-4\ln(2)\right)b+4\ln(2)+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=-4\ln(2)+4\ln(2)+2$$

Suma 2+4\ln(2) a -4\ln(2).

$$a=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=2,b=1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 4, o mínimo común denominador de 4,2.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)+2=4+4\ln(2)$$

Resta 2 en ambos lados.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=4+4\ln(2)-2$$

Resta 2 de 4 para obter 2.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=2+4\ln(2)$$

Multiplica ambos lados da ecuación por 4.

$$16\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=8+16\ln(2)$$

Multiplica ambos lados da ecuación por 4.

$$64\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=32+64\ln(2)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 64 por \frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2}).

$$64\times \frac{a}{4}+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

Descarta o máximo común divisor 4 en 64 e 4.

$$16a+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,a-2b=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}16&64\ln(2)\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}&-\frac{64\ln(2)}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}\\-\frac{1}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}&\frac{16}{16\left(-2\right)-64\ln(2)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16\left(2\ln(2)+1\right)}&\frac{2\ln(2)}{2\ln(2)+1}\\\frac{1}{32\left(2\ln(2)+1\right)}&-\frac{1}{2\left(2\ln(2)+1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}64\ln(2)+32\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{16\left(2\ln(2)+1\right)}\left(64\ln(2)+32\right)\\\frac{1}{32\left(2\ln(2)+1\right)}\left(64\ln(2)+32\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=2,b=1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 4, o mínimo común denominador de 4,2.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)+2=4+4\ln(2)$$

Resta 2 en ambos lados.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=4+4\ln(2)-2$$

Resta 2 de 4 para obter 2.

$$4\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=2+4\ln(2)$$

Multiplica ambos lados da ecuación por 4.

$$16\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=8+16\ln(2)$$

Multiplica ambos lados da ecuación por 4.

$$64\left(\frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2})\right)=32+64\ln(2)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 64 por \frac{a}{4}-b\ln(\frac{1}{2}).

$$64\times \frac{a}{4}+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

Descarta o máximo común divisor 4 en 64 e 4.

$$16a+64\ln(2)b=32+64\ln(2)$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,a-2b=0$$

Para que 16a e a sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 1 e todos os termos a cada lado da segunda por 16.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,16a+16\left(-2\right)b=0$$

Simplifica.

$$16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32,16a-32b=0$$

Resta 16a-32b=0 de 16a+64\ln(2)b=64\ln(2)+32 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$16a-16a+64\ln(2)b+32b=64\ln(2)+32$$

Suma 16a a -16a. 16a e -16a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$64\ln(2)b+32b=64\ln(2)+32$$

Suma 64\ln(2)b a 32b.

$$\left(64\ln(2)+32\right)b=64\ln(2)+32$$

Divide ambos lados entre 32+64\ln(2).

$$b=1$$

Substitúe b por 1 en a-2b=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a-2=0$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$a=2$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=2,b=1$$