Resolver {l}{81/16a+9/4b+3=0}{16a+4b+3=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 81 } { 16 } a + \frac { 9 } { 4 } b + 3 = 0 } \\ { 16 a + 4 b + 3 = 0 } \end{array} \right.$$

Resolver a, b

$$a=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$b = -\frac{25}{12} = -2\frac{1}{12} \approx -2.083333333$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$\frac{81}{16}a+\frac{9}{4}b+3=0,16a+4b+3=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a a mediante o illamento de a no lado esquerdo do signo igual.

$$\frac{81}{16}a+\frac{9}{4}b+3=0$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{81}{16}a+\frac{9}{4}b=-3$$

Resta \frac{9b}{4} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{81}{16}a=-\frac{9}{4}b-3$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{81}{16}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$a=\frac{16}{81}\left(-\frac{9}{4}b-3\right)$$

Multiplica \frac{16}{81} por -\frac{9b}{4}-3.

$$a=-\frac{4}{9}b-\frac{16}{27}$$

Substitúe a por -\frac{4b}{9}-\frac{16}{27} na outra ecuación, 16a+4b+3=0.

$$16\left(-\frac{4}{9}b-\frac{16}{27}\right)+4b+3=0$$

Multiplica 16 por -\frac{4b}{9}-\frac{16}{27}.

$$-\frac{64}{9}b-\frac{256}{27}+4b+3=0$$

Suma -\frac{64b}{9} a 4b.

$$-\frac{28}{9}b-\frac{256}{27}+3=0$$

Suma -\frac{256}{27} a 3.

$$-\frac{28}{9}b-\frac{175}{27}=0$$

Suma \frac{175}{27} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{28}{9}b=\frac{175}{27}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{28}{9}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$b=-\frac{25}{12}$$

Substitúe b por -\frac{25}{12} en a=-\frac{4}{9}b-\frac{16}{27}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$a=-\frac{4}{9}\left(-\frac{25}{12}\right)-\frac{16}{27}$$

Multiplica -\frac{4}{9} por -\frac{25}{12} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$a=\frac{25-16}{27}$$

Suma -\frac{16}{27} a \frac{25}{27} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$a=\frac{1}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=\frac{1}{3},b=-\frac{25}{12}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$\frac{81}{16}a+\frac{9}{4}b+3=0,16a+4b+3=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}\frac{81}{16}&\frac{9}{4}\\16&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}\frac{81}{16}&\frac{9}{4}\\16&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{81}{16}&\frac{9}{4}\\16&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{81}{16}&\frac{9}{4}\\16&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{81}{16}&\frac{9}{4}\\16&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{81}{16}&\frac{9}{4}\\16&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{81}{16}&\frac{9}{4}\\16&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{\frac{81}{16}\times 4-\frac{9}{4}\times 16}&-\frac{\frac{9}{4}}{\frac{81}{16}\times 4-\frac{9}{4}\times 16}\\-\frac{16}{\frac{81}{16}\times 4-\frac{9}{4}\times 16}&\frac{\frac{81}{16}}{\frac{81}{16}\times 4-\frac{9}{4}\times 16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{63}&\frac{1}{7}\\\frac{64}{63}&-\frac{9}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{16}{63}\left(-3\right)+\frac{1}{7}\left(-3\right)\\\frac{64}{63}\left(-3\right)-\frac{9}{28}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-\frac{25}{12}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz a e b.

$$a=\frac{1}{3},b=-\frac{25}{12}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$\frac{81}{16}a+\frac{9}{4}b+3=0,16a+4b+3=0$$

Para que \frac{81a}{16} e 16a sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 16 e todos os termos a cada lado da segunda por \frac{81}{16}.

$$16\times \frac{81}{16}a+16\times \frac{9}{4}b+16\times 3=0,\frac{81}{16}\times 16a+\frac{81}{16}\times 4b+\frac{81}{16}\times 3=0$$

Simplifica.

$$81a+36b+48=0,81a+\frac{81}{4}b+\frac{243}{16}=0$$

Resta 81a+\frac{81}{4}b+\frac{243}{16}=0 de 81a+36b+48=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$81a-81a+36b-\frac{81}{4}b+48-\frac{243}{16}=0$$

Suma 81a a -81a. 81a e -81a anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$36b-\frac{81}{4}b+48-\frac{243}{16}=0$$

Suma 36b a -\frac{81b}{4}.

$$\frac{63}{4}b+48-\frac{243}{16}=0$$

Suma 48 a -\frac{243}{16}.

$$\frac{63}{4}b+\frac{525}{16}=0$$

Resta \frac{525}{16} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{63}{4}b=-\frac{525}{16}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{63}{4}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$b=-\frac{25}{12}$$

Substitúe b por -\frac{25}{12} en 16a+4b+3=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar a directamente.

$$16a+4\left(-\frac{25}{12}\right)+3=0$$

Multiplica 4 por -\frac{25}{12}.

$$16a-\frac{25}{3}+3=0$$

Suma -\frac{25}{3} a 3.

$$16a-\frac{16}{3}=0$$

Suma \frac{16}{3} en ambos lados da ecuación.

$$16a=\frac{16}{3}$$

Divide ambos lados entre 16.

$$a=\frac{1}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$a=\frac{1}{3},b=-\frac{25}{12}$$