Resolver {l}{5(x-3)/4-3(2y+1)/10=4-7(x+y+1)/8}{6x-5(2y-7)=21}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 5 ( x - 3 ) } { 4 } - \frac { 3 ( 2 y + 1 ) } { 10 } = \frac { 4 - 7 ( x + y + 1 ) } { 8 } } \\ { 6 x - 5 ( 2 y - 7 ) = 21 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{329}{229} = 1\frac{100}{229} \approx 1.436681223$$

$$y = \frac{518}{229} = 2\frac{60}{229} \approx 2.262008734$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 40, o mínimo común denominador de 4,10,8.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Multiplica 10 e 5 para obter 50.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 50 por x-3.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Multiplica -4 e 3 para obter -12.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -12 por 2y+1.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Resta 12 de -150 para obter -162.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -7 por x+y+1.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

Resta 7 de 4 para obter -3.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 5 por -3-7x-7y.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

Engadir 35x en ambos lados.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

Combina 50x e 35x para obter 85x.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

Engadir 35y en ambos lados.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

Combina -24y e 35y para obter 11y.

$$85x-162+11y=-15$$

Engadir 162 en ambos lados.

$$85x+11y=-15+162$$

Suma -15 e 162 para obter 147.

$$85x+11y=147$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar -5 por 2y-7.

$$6x-10y+35=21$$

Resta 35 en ambos lados.

$$6x-10y=21-35$$

Resta 35 de 21 para obter -14.

$$6x-10y=-14$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$85x+11y=147$$

Resta 11y en ambos lados da ecuación.

$$85x=-11y+147$$

Divide ambos lados entre 85.

$$x=\frac{1}{85}\left(-11y+147\right)$$

Multiplica \frac{1}{85} por -11y+147.

$$x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}$$

Substitúe x por \frac{-11y+147}{85} na outra ecuación, 6x-10y=-14.

$$6\left(-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}\right)-10y=-14$$

Multiplica 6 por \frac{-11y+147}{85}.

$$-\frac{66}{85}y+\frac{882}{85}-10y=-14$$

Suma -\frac{66y}{85} a -10y.

$$-\frac{916}{85}y+\frac{882}{85}=-14$$

Resta \frac{882}{85} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{916}{85}y=-\frac{2072}{85}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{916}{85}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{518}{229}$$

Substitúe y por \frac{518}{229} en x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{11}{85}\times \frac{518}{229}+\frac{147}{85}$$

Multiplica -\frac{11}{85} por \frac{518}{229} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{5698}{19465}+\frac{147}{85}$$

Suma \frac{147}{85} a -\frac{5698}{19465} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{329}{229}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 40, o mínimo común denominador de 4,10,8.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Multiplica 10 e 5 para obter 50.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 50 por x-3.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Multiplica -4 e 3 para obter -12.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -12 por 2y+1.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Resta 12 de -150 para obter -162.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -7 por x+y+1.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

Resta 7 de 4 para obter -3.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 5 por -3-7x-7y.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

Engadir 35x en ambos lados.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

Combina 50x e 35x para obter 85x.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

Engadir 35y en ambos lados.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

Combina -24y e 35y para obter 11y.

$$85x-162+11y=-15$$

Engadir 162 en ambos lados.

$$85x+11y=-15+162$$

Suma -15 e 162 para obter 147.

$$85x+11y=147$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar -5 por 2y-7.

$$6x-10y+35=21$$

Resta 35 en ambos lados.

$$6x-10y=21-35$$

Resta 35 de 21 para obter -14.

$$6x-10y=-14$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Para a matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), a matriz inversa é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{85\left(-10\right)-11\times 6}&-\frac{11}{85\left(-10\right)-11\times 6}\\-\frac{6}{85\left(-10\right)-11\times 6}&\frac{85}{85\left(-10\right)-11\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}&\frac{11}{916}\\\frac{3}{458}&-\frac{85}{916}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}\times 147+\frac{11}{916}\left(-14\right)\\\frac{3}{458}\times 147-\frac{85}{916}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{329}{229}\\\frac{518}{229}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 40, o mínimo común denominador de 4,10,8.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Multiplica 10 e 5 para obter 50.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 50 por x-3.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Multiplica -4 e 3 para obter -12.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -12 por 2y+1.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Resta 12 de -150 para obter -162.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -7 por x+y+1.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

Resta 7 de 4 para obter -3.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 5 por -3-7x-7y.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

Engadir 35x en ambos lados.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

Combina 50x e 35x para obter 85x.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

Engadir 35y en ambos lados.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

Combina -24y e 35y para obter 11y.

$$85x-162+11y=-15$$

Engadir 162 en ambos lados.

$$85x+11y=-15+162$$

Suma -15 e 162 para obter 147.

$$85x+11y=147$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar -5 por 2y-7.

$$6x-10y+35=21$$

Resta 35 en ambos lados.

$$6x-10y=21-35$$

Resta 35 de 21 para obter -14.

$$6x-10y=-14$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

Para que 85x e 6x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 6 e todos os termos a cada lado da segunda por 85.

$$6\times 85x+6\times 11y=6\times 147,85\times 6x+85\left(-10\right)y=85\left(-14\right)$$

Simplifica.

$$510x+66y=882,510x-850y=-1190$$

Resta 510x-850y=-1190 de 510x+66y=882 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$510x-510x+66y+850y=882+1190$$

Suma 510x a -510x. 510x e -510x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$66y+850y=882+1190$$

Suma 66y a 850y.

$$916y=882+1190$$

Suma 882 a 1190.

$$916y=2072$$

Divide ambos lados entre 916.

$$y=\frac{518}{229}$$

Substitúe y por \frac{518}{229} en 6x-10y=-14. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$6x-10\times \frac{518}{229}=-14$$

Multiplica -10 por \frac{518}{229}.

$$6x-\frac{5180}{229}=-14$$

Suma \frac{5180}{229} en ambos lados da ecuación.

$$6x=\frac{1974}{229}$$

Divide ambos lados entre 6.

$$x=\frac{329}{229}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$