Resolver {l}{5/2x-1/2y=24}{5/2y-1/2x=12}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 5 } { 2 } x - \frac { 1 } { 2 } y = 24 } \\ { \frac { 5 } { 2 } y - \frac { 1 } { 2 } x = 12 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=11$$

$$y=7$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$\frac{5}{2}x-\frac{1}{2}y=24,-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}y=12$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$\frac{5}{2}x-\frac{1}{2}y=24$$

Suma \frac{y}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{5}{2}x=\frac{1}{2}y+24$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{5}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=\frac{2}{5}\left(\frac{1}{2}y+24\right)$$

Multiplica \frac{2}{5} por \frac{y}{2}+24.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{48}{5}$$

Substitúe x por \frac{48+y}{5} na outra ecuación, -\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}y=12.

$$-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}y+\frac{48}{5}\right)+\frac{5}{2}y=12$$

Multiplica -\frac{1}{2} por \frac{48+y}{5}.

$$-\frac{1}{10}y-\frac{24}{5}+\frac{5}{2}y=12$$

Suma -\frac{y}{10} a \frac{5y}{2}.

$$\frac{12}{5}y-\frac{24}{5}=12$$

Suma \frac{24}{5} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{12}{5}y=\frac{84}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{12}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=7$$

Substitúe y por 7 en x=\frac{1}{5}y+\frac{48}{5}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{1}{5}\times 7+\frac{48}{5}$$

Multiplica \frac{1}{5} por 7.

$$x=\frac{7+48}{5}$$

Suma \frac{48}{5} a \frac{7}{5} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=11$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=11,y=7$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$\frac{5}{2}x-\frac{1}{2}y=24,-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}y=12$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}\frac{5}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{5}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{5}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{5}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\12\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{5}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{5}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{5}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\12\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}\times \frac{5}{2}-\left(-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{5}{2}\times \frac{5}{2}-\left(-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{5}{2}\times \frac{5}{2}-\left(-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}&\frac{\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}\times \frac{5}{2}-\left(-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\12\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&\frac{1}{12}\\\frac{1}{12}&\frac{5}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 24+\frac{1}{12}\times 12\\\frac{1}{12}\times 24+\frac{5}{12}\times 12\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\7\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=11,y=7$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$\frac{5}{2}x-\frac{1}{2}y=24,-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}y=12$$

Para que \frac{5x}{2} e -\frac{x}{2} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -\frac{1}{2} e todos os termos a cada lado da segunda por \frac{5}{2}.

$$-\frac{1}{2}\times \frac{5}{2}x-\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)y=-\frac{1}{2}\times 24,\frac{5}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)x+\frac{5}{2}\times \frac{5}{2}y=\frac{5}{2}\times 12$$

Simplifica.

$$-\frac{5}{4}x+\frac{1}{4}y=-12,-\frac{5}{4}x+\frac{25}{4}y=30$$

Resta -\frac{5}{4}x+\frac{25}{4}y=30 de -\frac{5}{4}x+\frac{1}{4}y=-12 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-\frac{5}{4}x+\frac{5}{4}x+\frac{1}{4}y-\frac{25}{4}y=-12-30$$

Suma -\frac{5x}{4} a \frac{5x}{4}. -\frac{5x}{4} e \frac{5x}{4} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$\frac{1}{4}y-\frac{25}{4}y=-12-30$$

Suma \frac{y}{4} a -\frac{25y}{4}.

$$-6y=-12-30$$

Suma -12 a -30.

$$-6y=-42$$

Divide ambos lados entre -6.

$$y=7$$

Substitúe y por 7 en -\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}y=12. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\times 7=12$$

Multiplica \frac{5}{2} por 7.

$$-\frac{1}{2}x+\frac{35}{2}=12$$

Resta \frac{35}{2} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1}{2}x=-\frac{11}{2}$$

Multiplica ambos lados por -2.

$$x=11$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=11,y=7$$