\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 4 } { 5 } x = y - 5 } \\ { \frac { 3 x - 4 } { 2 } = y } \end{array} \right.
Resolver x, y
x=10
y=13
Gráfico
Compartir
Copiado a portapapeis
\frac{4}{5}x-y=-5
Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.
\frac{3}{2}x-2=y
Ten en conta a segunda ecuación. Divide cada termo de 3x-4 entre 2 para obter \frac{3}{2}x-2.
\frac{3}{2}x-2-y=0
Resta y en ambos lados.
\frac{3}{2}x-y=2
Engadir 2 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.
\frac{4}{5}x-y=-5,\frac{3}{2}x-y=2
Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.
\frac{4}{5}x-y=-5
Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.
\frac{4}{5}x=y-5
Suma y en ambos lados da ecuación.
x=\frac{5}{4}\left(y-5\right)
Divide ambos lados da ecuación entre \frac{4}{5}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.
x=\frac{5}{4}y-\frac{25}{4}
Multiplica \frac{5}{4} por y-5.
\frac{3}{2}\left(\frac{5}{4}y-\frac{25}{4}\right)-y=2
Substitúe x por \frac{-25+5y}{4} na outra ecuación, \frac{3}{2}x-y=2.
\frac{15}{8}y-\frac{75}{8}-y=2
Multiplica \frac{3}{2} por \frac{-25+5y}{4}.
\frac{7}{8}y-\frac{75}{8}=2
Suma \frac{15y}{8} a -y.
\frac{7}{8}y=\frac{91}{8}
Suma \frac{75}{8} en ambos lados da ecuación.
y=13
Divide ambos lados da ecuación entre \frac{7}{8}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.
x=\frac{5}{4}\times 13-\frac{25}{4}
Substitúe y por 13 en x=\frac{5}{4}y-\frac{25}{4}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.
x=\frac{65-25}{4}
Multiplica \frac{5}{4} por 13.
x=10
Suma -\frac{25}{4} a \frac{65}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.
x=10,y=13
O sistema xa funciona correctamente.
\frac{4}{5}x-y=-5
Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.
\frac{3}{2}x-2=y
Ten en conta a segunda ecuación. Divide cada termo de 3x-4 entre 2 para obter \frac{3}{2}x-2.
\frac{3}{2}x-2-y=0
Resta y en ambos lados.
\frac{3}{2}x-y=2
Engadir 2 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.
\frac{4}{5}x-y=-5,\frac{3}{2}x-y=2
Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.
\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&-1\\\frac{3}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)
Escribe as ecuacións en forma matricial.
inverse(\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&-1\\\frac{3}{2}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&-1\\\frac{3}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&-1\\\frac{3}{2}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)
Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&-1\\\frac{3}{2}&-1\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&-1\\\frac{3}{2}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)
O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&-1\\\frac{3}{2}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)
Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{\frac{4}{5}\left(-1\right)-\left(-\frac{3}{2}\right)}&-\frac{-1}{\frac{4}{5}\left(-1\right)-\left(-\frac{3}{2}\right)}\\-\frac{\frac{3}{2}}{\frac{4}{5}\left(-1\right)-\left(-\frac{3}{2}\right)}&\frac{\frac{4}{5}}{\frac{4}{5}\left(-1\right)-\left(-\frac{3}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)
A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}&\frac{10}{7}\\-\frac{15}{7}&\frac{8}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)
Fai o cálculo.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{7}\left(-5\right)+\frac{10}{7}\times 2\\-\frac{15}{7}\left(-5\right)+\frac{8}{7}\times 2\end{matrix}\right)
Multiplica as matrices.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\13\end{matrix}\right)
Fai o cálculo.
x=10,y=13
Extrae os elementos da matriz x e y.
\frac{4}{5}x-y=-5
Ten en conta a primeira ecuación. Resta y en ambos lados.
\frac{3}{2}x-2=y
Ten en conta a segunda ecuación. Divide cada termo de 3x-4 entre 2 para obter \frac{3}{2}x-2.
\frac{3}{2}x-2-y=0
Resta y en ambos lados.
\frac{3}{2}x-y=2
Engadir 2 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.
\frac{4}{5}x-y=-5,\frac{3}{2}x-y=2
Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.
\frac{4}{5}x-\frac{3}{2}x-y+y=-5-2
Resta \frac{3}{2}x-y=2 de \frac{4}{5}x-y=-5 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.
\frac{4}{5}x-\frac{3}{2}x=-5-2
Suma -y a y. -y e y anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.
-\frac{7}{10}x=-5-2
Suma \frac{4x}{5} a -\frac{3x}{2}.
-\frac{7}{10}x=-7
Suma -5 a -2.
x=10
Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{7}{10}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.
\frac{3}{2}\times 10-y=2
Substitúe x por 10 en \frac{3}{2}x-y=2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar y directamente.
15-y=2
Multiplica \frac{3}{2} por 10.
-y=-13
Resta 15 en ambos lados da ecuación.
y=13
Divide ambos lados entre -1.
x=10,y=13
O sistema xa funciona correctamente.
Exemplos
Ecuación cuadrática
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
Trigonometría
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
Ecuación linear
y = 3x + 4
Aritmética
699 * 533
Matriz
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
Ecuación simultánea
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
Diferenciación
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
Integración
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
Límites
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}