Resolver {l}{3x-7/4-2y+1/6=0}{x+2/5-5y+4/3=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x - 7 } { 4 } - \frac { 2 y + 1 } { 6 } = 0 } \\ { \frac { x + 2 } { 5 } - \frac { 5 y + 4 } { 3 } = - 2 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12, o mínimo común denominador de 4,6.

$$3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 3x-7.

$$9x-21-2\left(2y+1\right)=0$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2 por 2y+1.

$$9x-21-4y-2=0$$

Resta 2 de -21 para obter -23.

$$9x-23-4y=0$$

Engadir 23 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$9x-4y=23$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 15, o mínimo común denominador de 5,3.

$$3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x+2.

$$3x+6-5\left(5y+4\right)=-30$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -5 por 5y+4.

$$3x+6-25y-20=-30$$

Resta 20 de 6 para obter -14.

$$3x-14-25y=-30$$

Engadir 14 en ambos lados.

$$3x-25y=-30+14$$

Suma -30 e 14 para obter -16.

$$3x-25y=-16$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$9x-4y=23,3x-25y=-16$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$9x-4y=23$$

Suma 4y en ambos lados da ecuación.

$$9x=4y+23$$

Divide ambos lados entre 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(4y+23\right)$$

Multiplica \frac{1}{9} por 4y+23.

$$x=\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}$$

Substitúe x por \frac{4y+23}{9} na outra ecuación, 3x-25y=-16.

$$3\left(\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}\right)-25y=-16$$

Multiplica 3 por \frac{4y+23}{9}.

$$\frac{4}{3}y+\frac{23}{3}-25y=-16$$

Suma \frac{4y}{3} a -25y.

$$-\frac{71}{3}y+\frac{23}{3}=-16$$

Resta \frac{23}{3} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{71}{3}y=-\frac{71}{3}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{71}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x=\frac{4}{9}y+\frac{23}{9}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{4+23}{9}$$

Suma \frac{23}{9} a \frac{4}{9} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12, o mínimo común denominador de 4,6.

$$3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 3x-7.

$$9x-21-2\left(2y+1\right)=0$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2 por 2y+1.

$$9x-21-4y-2=0$$

Resta 2 de -21 para obter -23.

$$9x-23-4y=0$$

Engadir 23 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$9x-4y=23$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 15, o mínimo común denominador de 5,3.

$$3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x+2.

$$3x+6-5\left(5y+4\right)=-30$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -5 por 5y+4.

$$3x+6-25y-20=-30$$

Resta 20 de 6 para obter -14.

$$3x-14-25y=-30$$

Engadir 14 en ambos lados.

$$3x-25y=-30+14$$

Suma -30 e 14 para obter -16.

$$3x-25y=-16$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$9x-4y=23,3x-25y=-16$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-4\\3&-25\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{25}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}&\frac{9}{9\left(-25\right)-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{213}&-\frac{4}{213}\\\frac{1}{71}&-\frac{3}{71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-16\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{25}{213}\times 23-\frac{4}{213}\left(-16\right)\\\frac{1}{71}\times 23-\frac{3}{71}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=3,y=1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12, o mínimo común denominador de 4,6.

$$3\left(3x-7\right)-2\left(2y+1\right)=0$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 3x-7.

$$9x-21-2\left(2y+1\right)=0$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2 por 2y+1.

$$9x-21-4y-2=0$$

Resta 2 de -21 para obter -23.

$$9x-23-4y=0$$

Engadir 23 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$9x-4y=23$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 15, o mínimo común denominador de 5,3.

$$3\left(x+2\right)-5\left(5y+4\right)=-30$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por x+2.

$$3x+6-5\left(5y+4\right)=-30$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -5 por 5y+4.

$$3x+6-25y-20=-30$$

Resta 20 de 6 para obter -14.

$$3x-14-25y=-30$$

Engadir 14 en ambos lados.

$$3x-25y=-30+14$$

Suma -30 e 14 para obter -16.

$$3x-25y=-16$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$9x-4y=23,3x-25y=-16$$

Para que 9x e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por 9.

$$3\times 9x+3\left(-4\right)y=3\times 23,9\times 3x+9\left(-25\right)y=9\left(-16\right)$$

Simplifica.

$$27x-12y=69,27x-225y=-144$$

Resta 27x-225y=-144 de 27x-12y=69 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$27x-27x-12y+225y=69+144$$

Suma 27x a -27x. 27x e -27x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-12y+225y=69+144$$

Suma -12y a 225y.

$$213y=69+144$$

Suma 69 a 144.

$$213y=213$$

Divide ambos lados entre 213.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en 3x-25y=-16. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x-25=-16$$

Suma 25 en ambos lados da ecuación.

$$3x=9$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=3$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=3,y=1$$