Resolver {l}{3x-1/2-4y-7/3=2}{3y-6/4-5-x/6=-1frac{5}{12}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x - 1 } { 2 } - \frac { 4 y - 7 } { 3 } = 2 } \\ { \frac { 3 y - 6 } { 4 } - \frac { 5 - x } { 6 } = - 1 \frac { 5 } { 12 } } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 2,3.

$$3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 3x-1.

$$9x-3-2\left(4y-7\right)=12$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2 por 4y-7.

$$9x-3-8y+14=12$$

Suma -3 e 14 para obter 11.

$$9x+11-8y=12$$

Resta 11 en ambos lados.

$$9x-8y=12-11$$

Resta 11 de 12 para obter 1.

$$9x-8y=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12, o mínimo común denominador de 4,6,12.

$$3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 3y-6.

$$9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2 por 5-x.

$$9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

Resta 10 de -18 para obter -28.

$$9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

Multiplica 1 e 12 para obter 12.

$$9y-28+2x=-\left(12+5\right)$$

Suma 12 e 5 para obter 17.

$$9y-28+2x=-17$$

Engadir 28 en ambos lados.

$$9y+2x=-17+28$$

Suma -17 e 28 para obter 11.

$$9y+2x=11$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$9x-8y=1,2x+9y=11$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$9x-8y=1$$

Suma 8y en ambos lados da ecuación.

$$9x=8y+1$$

Divide ambos lados entre 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(8y+1\right)$$

Multiplica \frac{1}{9} por 8y+1.

$$x=\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}$$

Substitúe x por \frac{8y+1}{9} na outra ecuación, 2x+9y=11.

$$2\left(\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}\right)+9y=11$$

Multiplica 2 por \frac{8y+1}{9}.

$$\frac{16}{9}y+\frac{2}{9}+9y=11$$

Suma \frac{16y}{9} a 9y.

$$\frac{97}{9}y+\frac{2}{9}=11$$

Resta \frac{2}{9} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{97}{9}y=\frac{97}{9}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{97}{9}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x=\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{8+1}{9}$$

Suma \frac{1}{9} a \frac{8}{9} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 2,3.

$$3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 3x-1.

$$9x-3-2\left(4y-7\right)=12$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2 por 4y-7.

$$9x-3-8y+14=12$$

Suma -3 e 14 para obter 11.

$$9x+11-8y=12$$

Resta 11 en ambos lados.

$$9x-8y=12-11$$

Resta 11 de 12 para obter 1.

$$9x-8y=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12, o mínimo común denominador de 4,6,12.

$$3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 3y-6.

$$9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2 por 5-x.

$$9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

Resta 10 de -18 para obter -28.

$$9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

Multiplica 1 e 12 para obter 12.

$$9y-28+2x=-\left(12+5\right)$$

Suma 12 e 5 para obter 17.

$$9y-28+2x=-17$$

Engadir 28 en ambos lados.

$$9y+2x=-17+28$$

Suma -17 e 28 para obter 11.

$$9y+2x=11$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$9x-8y=1,2x+9y=11$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}&-\frac{-8}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}\\-\frac{2}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}&\frac{9}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{97}&\frac{8}{97}\\-\frac{2}{97}&\frac{9}{97}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{97}+\frac{8}{97}\times 11\\-\frac{2}{97}+\frac{9}{97}\times 11\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 6, o mínimo común denominador de 2,3.

$$3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 3x-1.

$$9x-3-2\left(4y-7\right)=12$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2 por 4y-7.

$$9x-3-8y+14=12$$

Suma -3 e 14 para obter 11.

$$9x+11-8y=12$$

Resta 11 en ambos lados.

$$9x-8y=12-11$$

Resta 11 de 12 para obter 1.

$$9x-8y=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 12, o mínimo común denominador de 4,6,12.

$$3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 3 por 3y-6.

$$9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -2 por 5-x.

$$9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

Resta 10 de -18 para obter -28.

$$9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

Multiplica 1 e 12 para obter 12.

$$9y-28+2x=-\left(12+5\right)$$

Suma 12 e 5 para obter 17.

$$9y-28+2x=-17$$

Engadir 28 en ambos lados.

$$9y+2x=-17+28$$

Suma -17 e 28 para obter 11.

$$9y+2x=11$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$9x-8y=1,2x+9y=11$$

Para que 9x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 9.

$$2\times 9x+2\left(-8\right)y=2,9\times 2x+9\times 9y=9\times 11$$

Simplifica.

$$18x-16y=2,18x+81y=99$$

Resta 18x+81y=99 de 18x-16y=2 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$18x-18x-16y-81y=2-99$$

Suma 18x a -18x. 18x e -18x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-16y-81y=2-99$$

Suma -16y a -81y.

$$-97y=2-99$$

Suma 2 a -99.

$$-97y=-97$$

Divide ambos lados entre -97.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en 2x+9y=11. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+9=11$$

Resta 9 en ambos lados da ecuación.

$$2x=2$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=1$$