Resolver {l}{3x+5y/6=-5}{2(x+7)+3y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x + 5 y } { 6 } = - 5 } \\ { 2 ( x + 7 ) + 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-5$$

$$y=-3$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados por 6.

$$3x+5y=-5\times 6$$

Multiplica -5 e 6 para obter -30.

$$3x+5y=-30$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x+7.

$$2x+14+3y=-5$$

Resta 14 en ambos lados.

$$2x+3y=-5-14$$

Resta 14 de -5 para obter -19.

$$2x+3y=-19$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+5y=-30$$

Resta 5y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-5y-30$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-30\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -5y-30.

$$x=-\frac{5}{3}y-10$$

Substitúe x por -\frac{5y}{3}-10 na outra ecuación, 2x+3y=-19.

$$2\left(-\frac{5}{3}y-10\right)+3y=-19$$

Multiplica 2 por -\frac{5y}{3}-10.

$$-\frac{10}{3}y-20+3y=-19$$

Suma -\frac{10y}{3} a 3y.

$$-\frac{1}{3}y-20=-19$$

Suma 20 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1}{3}y=1$$

Multiplica ambos lados por -3.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en x=-\frac{5}{3}y-10. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-3\right)-10$$

Multiplica -\frac{5}{3} por -3.

$$x=5-10$$

Suma -10 a 5.

$$x=-5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-5,y=-3$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados por 6.

$$3x+5y=-5\times 6$$

Multiplica -5 e 6 para obter -30.

$$3x+5y=-30$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x+7.

$$2x+14+3y=-5$$

Resta 14 en ambos lados.

$$2x+3y=-5-14$$

Resta 14 de -5 para obter -19.

$$2x+3y=-19$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 2}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-5\times 2}&\frac{3}{3\times 3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\left(-30\right)+5\left(-19\right)\\2\left(-30\right)-3\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-3\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-5,y=-3$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados por 6.

$$3x+5y=-5\times 6$$

Multiplica -5 e 6 para obter -30.

$$3x+5y=-30$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar 2 por x+7.

$$2x+14+3y=-5$$

Resta 14 en ambos lados.

$$2x+3y=-5-14$$

Resta 14 de -5 para obter -19.

$$2x+3y=-19$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

Para que 3x e 2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 2 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$2\times 3x+2\times 5y=2\left(-30\right),3\times 2x+3\times 3y=3\left(-19\right)$$

Simplifica.

$$6x+10y=-60,6x+9y=-57$$

Resta 6x+9y=-57 de 6x+10y=-60 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$6x-6x+10y-9y=-60+57$$

Suma 6x a -6x. 6x e -6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$10y-9y=-60+57$$

Suma 10y a -9y.

$$y=-60+57$$

Suma -60 a 57.

$$y=-3$$

Substitúe y por -3 en 2x+3y=-19. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$2x+3\left(-3\right)=-19$$

Multiplica 3 por -3.

$$2x-9=-19$$

Suma 9 en ambos lados da ecuación.

$$2x=-10$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=-5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-5,y=-3$$