Resolver {l}{2x-5/3+3y-4/3=-1/3}{y=x+5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x - 5 } { 3 } + \frac { 3 y - 4 } { 3 } = - \frac { 1 } { 3 } } \\ { y = x + 5 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 3.

$$2x-5+3y-4=-1$$

Resta 4 de -5 para obter -9.

$$2x-9+3y=-1$$

Engadir 9 en ambos lados.

$$2x+3y=-1+9$$

Suma -1 e 9 para obter 8.

$$2x+3y=8$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=5$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+3y=8$$

Resta 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-3y+8$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+8\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por -3y+8.

$$x=-\frac{3}{2}y+4$$

Substitúe x por -\frac{3y}{2}+4 na outra ecuación, -x+y=5.

$$-\left(-\frac{3}{2}y+4\right)+y=5$$

Multiplica -1 por -\frac{3y}{2}+4.

$$\frac{3}{2}y-4+y=5$$

Suma \frac{3y}{2} a y.

$$\frac{5}{2}y-4=5$$

Suma 4 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{5}{2}y=9$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{5}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{18}{5}$$

Substitúe y por \frac{18}{5} en x=-\frac{3}{2}y+4. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{18}{5}+4$$

Multiplica -\frac{3}{2} por \frac{18}{5} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{27}{5}+4$$

Suma 4 a -\frac{27}{5}.

$$x=-\frac{7}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 3.

$$2x-5+3y-4=-1$$

Resta 4 de -5 para obter -9.

$$2x-9+3y=-1$$

Engadir 9 en ambos lados.

$$2x+3y=-1+9$$

Suma -1 e 9 para obter 8.

$$2x+3y=8$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=5$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2-3\left(-1\right)}&\frac{2}{2-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 8-\frac{3}{5}\times 5\\\frac{1}{5}\times 8+\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5}\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 3.

$$2x-5+3y-4=-1$$

Resta 4 de -5 para obter -9.

$$2x-9+3y=-1$$

Engadir 9 en ambos lados.

$$2x+3y=-1+9$$

Suma -1 e 9 para obter 8.

$$2x+3y=8$$

Ten en conta a segunda ecuación. Resta x en ambos lados.

$$y-x=5$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+3y=8,-x+y=5$$

Para que 2x e -x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -1 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$-2x-3y=-8,2\left(-1\right)x+2y=2\times 5$$

Simplifica.

$$-2x-3y=-8,-2x+2y=10$$

Resta -2x+2y=10 de -2x-3y=-8 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-2x+2x-3y-2y=-8-10$$

Suma -2x a 2x. -2x e 2x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-3y-2y=-8-10$$

Suma -3y a -2y.

$$-5y=-8-10$$

Suma -8 a -10.

$$-5y=-18$$

Divide ambos lados entre -5.

$$y=\frac{18}{5}$$

Substitúe y por \frac{18}{5} en -x+y=5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-x+\frac{18}{5}=5$$

Resta \frac{18}{5} en ambos lados da ecuación.

$$-x=\frac{7}{5}$$

Divide ambos lados entre -1.

$$x=-\frac{7}{5}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{7}{5},y=\frac{18}{5}$$