Resolver {l}{2x+7y/3+y=0}{x+5y-1/2=7+2x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 7 y } { 3 } + y = 0 } \\ { x + \frac { 5 y - 1 } { 2 } = 7 + 2 x } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=-5$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 3.

$$2x+7y+3y=0$$

Combina 7y e 3y para obter 10y.

$$2x+10y=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 2.

$$2x+5y-1=14+4x$$

Resta 4x en ambos lados.

$$2x+5y-1-4x=14$$

Combina 2x e -4x para obter -2x.

$$-2x+5y-1=14$$

Engadir 1 en ambos lados.

$$-2x+5y=14+1$$

Suma 14 e 1 para obter 15.

$$-2x+5y=15$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+10y=0,-2x+5y=15$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+10y=0$$

Resta 10y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-10y$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)y$$

Multiplica \frac{1}{2} por -10y.

$$x=-5y$$

Substitúe x por -5y na outra ecuación, -2x+5y=15.

$$-2\left(-5\right)y+5y=15$$

Multiplica -2 por -5y.

$$10y+5y=15$$

Suma 10y a 5y.

$$15y=15$$

Divide ambos lados entre 15.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x=-5y. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-5,y=1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 3.

$$2x+7y+3y=0$$

Combina 7y e 3y para obter 10y.

$$2x+10y=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 2.

$$2x+5y-1=14+4x$$

Resta 4x en ambos lados.

$$2x+5y-1-4x=14$$

Combina 2x e -4x para obter -2x.

$$-2x+5y-1=14$$

Engadir 1 en ambos lados.

$$-2x+5y=14+1$$

Suma 14 e 1 para obter 15.

$$-2x+5y=15$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+10y=0,-2x+5y=15$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\15\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\-2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\15\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-10\left(-2\right)}&-\frac{10}{2\times 5-10\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 5-10\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 5-10\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{15}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\15\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 15\\\frac{1}{15}\times 15\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-5,y=1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 3.

$$2x+7y+3y=0$$

Combina 7y e 3y para obter 10y.

$$2x+10y=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 2.

$$2x+5y-1=14+4x$$

Resta 4x en ambos lados.

$$2x+5y-1-4x=14$$

Combina 2x e -4x para obter -2x.

$$-2x+5y-1=14$$

Engadir 1 en ambos lados.

$$-2x+5y=14+1$$

Suma 14 e 1 para obter 15.

$$-2x+5y=15$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+10y=0,-2x+5y=15$$

Para que 2x e -2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -2 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$-2\times 2x-2\times 10y=0,2\left(-2\right)x+2\times 5y=2\times 15$$

Simplifica.

$$-4x-20y=0,-4x+10y=30$$

Resta -4x+10y=30 de -4x-20y=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-4x+4x-20y-10y=-30$$

Suma -4x a 4x. -4x e 4x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-20y-10y=-30$$

Suma -20y a -10y.

$$-30y=-30$$

Divide ambos lados entre -30.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en -2x+5y=15. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-2x+5=15$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$-2x=10$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=-5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-5,y=1$$