Resolver {l}{2x+7y/3+y=0}{x+5y-1/2=2-x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 7 y } { 3 } + y = 0 } \\ { x + \frac { 5 y - 1 } { 2 } = 2 - x } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 3.

$$2x+7y+3y=0$$

Combina 7y e 3y para obter 10y.

$$2x+10y=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 2.

$$2x+5y-1=4-2x$$

Engadir 2x en ambos lados.

$$2x+5y-1+2x=4$$

Combina 2x e 2x para obter 4x.

$$4x+5y-1=4$$

Engadir 1 en ambos lados.

$$4x+5y=4+1$$

Suma 4 e 1 para obter 5.

$$4x+5y=5$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x+10y=0$$

Resta 10y en ambos lados da ecuación.

$$2x=-10y$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)y$$

Multiplica \frac{1}{2} por -10y.

$$x=-5y$$

Substitúe x por -5y na outra ecuación, 4x+5y=5.

$$4\left(-5\right)y+5y=5$$

Multiplica 4 por -5y.

$$-20y+5y=5$$

Suma -20y a 5y.

$$-15y=5$$

Divide ambos lados entre -15.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Substitúe y por -\frac{1}{3} en x=-5y. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-5\left(-\frac{1}{3}\right)$$

Multiplica -5 por -\frac{1}{3}.

$$x=\frac{5}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 3.

$$2x+7y+3y=0$$

Combina 7y e 3y para obter 10y.

$$2x+10y=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 2.

$$2x+5y-1=4-2x$$

Engadir 2x en ambos lados.

$$2x+5y-1+2x=4$$

Combina 2x e 2x para obter 4x.

$$4x+5y-1=4$$

Engadir 1 en ambos lados.

$$4x+5y=4+1$$

Suma 4 e 1 para obter 5.

$$4x+5y=5$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-10\times 4}&-\frac{10}{2\times 5-10\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-10\times 4}&\frac{2}{2\times 5-10\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5\\-\frac{1}{15}\times 5\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 3.

$$2x+7y+3y=0$$

Combina 7y e 3y para obter 10y.

$$2x+10y=0$$

Ten en conta a segunda ecuación. Multiplica ambos lados da ecuación por 2.

$$2x+5y-1=4-2x$$

Engadir 2x en ambos lados.

$$2x+5y-1+2x=4$$

Combina 2x e 2x para obter 4x.

$$4x+5y-1=4$$

Engadir 1 en ambos lados.

$$4x+5y=4+1$$

Suma 4 e 1 para obter 5.

$$4x+5y=5$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

Para que 2x e 4x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 4 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$4\times 2x+4\times 10y=0,2\times 4x+2\times 5y=2\times 5$$

Simplifica.

$$8x+40y=0,8x+10y=10$$

Resta 8x+10y=10 de 8x+40y=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$8x-8x+40y-10y=-10$$

Suma 8x a -8x. 8x e -8x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$40y-10y=-10$$

Suma 40y a -10y.

$$30y=-10$$

Divide ambos lados entre 30.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Substitúe y por -\frac{1}{3} en 4x+5y=5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$4x+5\left(-\frac{1}{3}\right)=5$$

Multiplica 5 por -\frac{1}{3}.

$$4x-\frac{5}{3}=5$$

Suma \frac{5}{3} en ambos lados da ecuación.

$$4x=\frac{20}{3}$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x=\frac{5}{3}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$