Resolver {l}{2/3x-1/4y=5}{5/6x-1/2y=frac{11}{2}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 } { 3 } x - \frac { 1 } { 4 } y = 5 } \\ { \frac { 5 } { 6 } x - \frac { 1 } { 2 } y = \frac { 11 } { 2 } } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=9$$

$$y=4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$\frac{2}{3}x-\frac{1}{4}y=5,\frac{5}{6}x-\frac{1}{2}y=\frac{11}{2}$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$\frac{2}{3}x-\frac{1}{4}y=5$$

Suma \frac{y}{4} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{2}{3}x=\frac{1}{4}y+5$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{2}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{4}y+5\right)$$

Multiplica \frac{3}{2} por \frac{y}{4}+5.

$$x=\frac{3}{8}y+\frac{15}{2}$$

Substitúe x por \frac{3y}{8}+\frac{15}{2} na outra ecuación, \frac{5}{6}x-\frac{1}{2}y=\frac{11}{2}.

$$\frac{5}{6}\left(\frac{3}{8}y+\frac{15}{2}\right)-\frac{1}{2}y=\frac{11}{2}$$

Multiplica \frac{5}{6} por \frac{3y}{8}+\frac{15}{2}.

$$\frac{5}{16}y+\frac{25}{4}-\frac{1}{2}y=\frac{11}{2}$$

Suma \frac{5y}{16} a -\frac{y}{2}.

$$-\frac{3}{16}y+\frac{25}{4}=\frac{11}{2}$$

Resta \frac{25}{4} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{3}{16}y=-\frac{3}{4}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{3}{16}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en x=\frac{3}{8}y+\frac{15}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{8}\times 4+\frac{15}{2}$$

Multiplica \frac{3}{8} por 4.

$$x=\frac{3+15}{2}$$

Suma \frac{15}{2} a \frac{3}{2} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=9,y=4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$\frac{2}{3}x-\frac{1}{4}y=5,\frac{5}{6}x-\frac{1}{2}y=\frac{11}{2}$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\\frac{11}{2}\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\\frac{11}{2}\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\\frac{11}{2}\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{4}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\\frac{11}{2}\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-\frac{1}{4}\times \frac{5}{6}\right)}&-\frac{-\frac{1}{4}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-\frac{1}{4}\times \frac{5}{6}\right)}\\-\frac{\frac{5}{6}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-\frac{1}{4}\times \frac{5}{6}\right)}&\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-\frac{1}{4}\times \frac{5}{6}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\\frac{11}{2}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&-2\\\frac{20}{3}&-\frac{16}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\\frac{11}{2}\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\times 5-2\times \frac{11}{2}\\\frac{20}{3}\times 5-\frac{16}{3}\times \frac{11}{2}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=9,y=4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$\frac{2}{3}x-\frac{1}{4}y=5,\frac{5}{6}x-\frac{1}{2}y=\frac{11}{2}$$

Para que \frac{2x}{3} e \frac{5x}{6} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por \frac{5}{6} e todos os termos a cada lado da segunda por \frac{2}{3}.

$$\frac{5}{6}\times \frac{2}{3}x+\frac{5}{6}\left(-\frac{1}{4}\right)y=\frac{5}{6}\times 5,\frac{2}{3}\times \frac{5}{6}x+\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)y=\frac{2}{3}\times \frac{11}{2}$$

Simplifica.

$$\frac{5}{9}x-\frac{5}{24}y=\frac{25}{6},\frac{5}{9}x-\frac{1}{3}y=\frac{11}{3}$$

Resta \frac{5}{9}x-\frac{1}{3}y=\frac{11}{3} de \frac{5}{9}x-\frac{5}{24}y=\frac{25}{6} mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$\frac{5}{9}x-\frac{5}{9}x-\frac{5}{24}y+\frac{1}{3}y=\frac{25}{6}-\frac{11}{3}$$

Suma \frac{5x}{9} a -\frac{5x}{9}. \frac{5x}{9} e -\frac{5x}{9} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-\frac{5}{24}y+\frac{1}{3}y=\frac{25}{6}-\frac{11}{3}$$

Suma -\frac{5y}{24} a \frac{y}{3}.

$$\frac{1}{8}y=\frac{25}{6}-\frac{11}{3}$$

Suma \frac{25}{6} a -\frac{11}{3} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$\frac{1}{8}y=\frac{1}{2}$$

Multiplica ambos lados por 8.

$$y=4$$

Substitúe y por 4 en \frac{5}{6}x-\frac{1}{2}y=\frac{11}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$\frac{5}{6}x-\frac{1}{2}\times 4=\frac{11}{2}$$

Multiplica -\frac{1}{2} por 4.

$$\frac{5}{6}x-2=\frac{11}{2}$$

Suma 2 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{5}{6}x=\frac{15}{2}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{5}{6}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=9$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=9,y=4$$