Resolver {l}{2/3x+3/4y=17/12}{1/6x-frac{1}{2}y=-frac{1}{3}}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 } { 3 } x + \frac { 3 } { 4 } y = \frac { 17 } { 12 } } \\ { \frac { 1 } { 6 } x - \frac { 1 } { 2 } y = - \frac { 1 } { 3 } } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$\frac{2}{3}x+\frac{3}{4}y=\frac{17}{12},\frac{1}{6}x-\frac{1}{2}y=-\frac{1}{3}$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$\frac{2}{3}x+\frac{3}{4}y=\frac{17}{12}$$

Resta \frac{3y}{4} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{3}{4}y+\frac{17}{12}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{2}{3}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$x=\frac{3}{2}\left(-\frac{3}{4}y+\frac{17}{12}\right)$$

Multiplica \frac{3}{2} por -\frac{3y}{4}+\frac{17}{12}.

$$x=-\frac{9}{8}y+\frac{17}{8}$$

Substitúe x por \frac{-9y+17}{8} na outra ecuación, \frac{1}{6}x-\frac{1}{2}y=-\frac{1}{3}.

$$\frac{1}{6}\left(-\frac{9}{8}y+\frac{17}{8}\right)-\frac{1}{2}y=-\frac{1}{3}$$

Multiplica \frac{1}{6} por \frac{-9y+17}{8}.

$$-\frac{3}{16}y+\frac{17}{48}-\frac{1}{2}y=-\frac{1}{3}$$

Suma -\frac{3y}{16} a -\frac{y}{2}.

$$-\frac{11}{16}y+\frac{17}{48}=-\frac{1}{3}$$

Resta \frac{17}{48} en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{11}{16}y=-\frac{11}{16}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{11}{16}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en x=-\frac{9}{8}y+\frac{17}{8}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{-9+17}{8}$$

Suma \frac{17}{8} a -\frac{9}{8} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=1$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$\frac{2}{3}x+\frac{3}{4}y=\frac{17}{12},\frac{1}{6}x-\frac{1}{2}y=-\frac{1}{3}$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{12}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{17}{12}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{17}{12}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{3}{4}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{17}{12}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{3}{4}\times \frac{1}{6}}&-\frac{\frac{3}{4}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{3}{4}\times \frac{1}{6}}\\-\frac{\frac{1}{6}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{3}{4}\times \frac{1}{6}}&\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{3}{4}\times \frac{1}{6}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{17}{12}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{11}&\frac{18}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{16}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{17}{12}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{11}\times \frac{17}{12}+\frac{18}{11}\left(-\frac{1}{3}\right)\\\frac{4}{11}\times \frac{17}{12}-\frac{16}{11}\left(-\frac{1}{3}\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=1,y=1$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$\frac{2}{3}x+\frac{3}{4}y=\frac{17}{12},\frac{1}{6}x-\frac{1}{2}y=-\frac{1}{3}$$

Para que \frac{2x}{3} e \frac{x}{6} sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por \frac{1}{6} e todos os termos a cada lado da segunda por \frac{2}{3}.

$$\frac{1}{6}\times \frac{2}{3}x+\frac{1}{6}\times \frac{3}{4}y=\frac{1}{6}\times \frac{17}{12},\frac{2}{3}\times \frac{1}{6}x+\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)y=\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{3}\right)$$

Simplifica.

$$\frac{1}{9}x+\frac{1}{8}y=\frac{17}{72},\frac{1}{9}x-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{9}$$

Resta \frac{1}{9}x-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{9} de \frac{1}{9}x+\frac{1}{8}y=\frac{17}{72} mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$\frac{1}{9}x-\frac{1}{9}x+\frac{1}{8}y+\frac{1}{3}y=\frac{17}{72}+\frac{2}{9}$$

Suma \frac{x}{9} a -\frac{x}{9}. \frac{x}{9} e -\frac{x}{9} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$\frac{1}{8}y+\frac{1}{3}y=\frac{17}{72}+\frac{2}{9}$$

Suma \frac{y}{8} a \frac{y}{3}.

$$\frac{11}{24}y=\frac{17}{72}+\frac{2}{9}$$

Suma \frac{17}{72} a \frac{2}{9} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$\frac{11}{24}y=\frac{11}{24}$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{11}{24}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=1$$

Substitúe y por 1 en \frac{1}{6}x-\frac{1}{2}y=-\frac{1}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$\frac{1}{6}x-\frac{1}{2}=-\frac{1}{3}$$

Suma \frac{1}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{6}x=\frac{1}{6}$$

Multiplica ambos lados por 6.

$$x=1$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=1,y=1$$