Resolver {l}{1/5x-2y=10}{3x-3/2y=36}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 5 } x - 2 y = 10 } \\ { 3 x - \frac { 3 } { 2 } y = 36 } \end{array} \right.$$

Resolver x, y

$$x=10$$

$$y=-4$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$\frac{1}{5}x-2y=10,3x-\frac{3}{2}y=36$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$\frac{1}{5}x-2y=10$$

Suma 2y en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{5}x=2y+10$$

Multiplica ambos lados por 5.

$$x=5\left(2y+10\right)$$

Multiplica 5 por 10+2y.

$$x=10y+50$$

Substitúe x por 50+10y na outra ecuación, 3x-\frac{3}{2}y=36.

$$3\left(10y+50\right)-\frac{3}{2}y=36$$

Multiplica 3 por 50+10y.

$$30y+150-\frac{3}{2}y=36$$

Suma 30y a -\frac{3y}{2}.

$$\frac{57}{2}y+150=36$$

Resta 150 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{57}{2}y=-114$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{57}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en x=10y+50. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=10\left(-4\right)+50$$

Multiplica 10 por -4.

$$x=-40+50$$

Suma 50 a -40.

$$x=10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=10,y=-4$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$\frac{1}{5}x-2y=10,3x-\frac{3}{2}y=36$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\36\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\36\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\36\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-2\\3&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\36\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\36\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{19}&\frac{20}{57}\\-\frac{10}{19}&\frac{2}{57}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\36\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{19}\times 10+\frac{20}{57}\times 36\\-\frac{10}{19}\times 10+\frac{2}{57}\times 36\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-4\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=10,y=-4$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$\frac{1}{5}x-2y=10,3x-\frac{3}{2}y=36$$

Para que \frac{x}{5} e 3x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 3 e todos os termos a cada lado da segunda por \frac{1}{5}.

$$3\times \frac{1}{5}x+3\left(-2\right)y=3\times 10,\frac{1}{5}\times 3x+\frac{1}{5}\left(-\frac{3}{2}\right)y=\frac{1}{5}\times 36$$

Simplifica.

$$\frac{3}{5}x-6y=30,\frac{3}{5}x-\frac{3}{10}y=\frac{36}{5}$$

Resta \frac{3}{5}x-\frac{3}{10}y=\frac{36}{5} de \frac{3}{5}x-6y=30 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$\frac{3}{5}x-\frac{3}{5}x-6y+\frac{3}{10}y=30-\frac{36}{5}$$

Suma \frac{3x}{5} a -\frac{3x}{5}. \frac{3x}{5} e -\frac{3x}{5} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-6y+\frac{3}{10}y=30-\frac{36}{5}$$

Suma -6y a \frac{3y}{10}.

$$-\frac{57}{10}y=30-\frac{36}{5}$$

Suma 30 a -\frac{36}{5}.

$$-\frac{57}{10}y=\frac{114}{5}$$

Divide ambos lados da ecuación entre -\frac{57}{10}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=-4$$

Substitúe y por -4 en 3x-\frac{3}{2}y=36. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x-\frac{3}{2}\left(-4\right)=36$$

Multiplica -\frac{3}{2} por -4.

$$3x+6=36$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$3x=30$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=10$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=10,y=-4$$