Resolver {l}{1/2(A+B)-B=1}{1/4(2A+B)-B=5/2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 } ( A + B ) - B = 1 } \\ { \frac { 1 } { 4 } ( 2 A + B ) - B = \frac { 5 } { 2 } } \end{array} \right.$$

Resolver A, B

$$A=-4$$

$$B=-6$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar \frac{1}{2} por A+B.

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B-B=1$$

Combina \frac{1}{2}B e -B para obter -\frac{1}{2}B.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar \frac{1}{4} por 2A+B.

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B-B=\frac{5}{2}$$

Combina \frac{1}{4}B e -B para obter -\frac{3}{4}B.

$$\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{2}$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=1,\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{2}$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a A mediante o illamento de A no lado esquerdo do signo igual.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=1$$

Suma \frac{B}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{2}A=\frac{1}{2}B+1$$

Multiplica ambos lados por 2.

$$A=2\left(\frac{1}{2}B+1\right)$$

Multiplica 2 por \frac{B}{2}+1.

$$A=B+2$$

Substitúe A por B+2 na outra ecuación, \frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{2}.

$$\frac{1}{2}\left(B+2\right)-\frac{3}{4}B=\frac{5}{2}$$

Multiplica \frac{1}{2} por B+2.

$$\frac{1}{2}B+1-\frac{3}{4}B=\frac{5}{2}$$

Suma \frac{B}{2} a -\frac{3B}{4}.

$$-\frac{1}{4}B+1=\frac{5}{2}$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$-\frac{1}{4}B=\frac{3}{2}$$

Multiplica ambos lados por -4.

$$B=-6$$

Substitúe B por -6 en A=B+2. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar A directamente.

$$A=-6+2$$

Suma 2 a -6.

$$A=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$A=-4,B=-6$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar \frac{1}{2} por A+B.

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B-B=1$$

Combina \frac{1}{2}B e -B para obter -\frac{1}{2}B.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar \frac{1}{4} por 2A+B.

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B-B=\frac{5}{2}$$

Combina \frac{1}{4}B e -B para obter -\frac{3}{4}B.

$$\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{2}$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=1,\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{2}$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)}\\-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)-\left(-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6&-4\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6-4\times \frac{5}{2}\\4-4\times \frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}A\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-6\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz A e B.

$$A=-4,B=-6$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar \frac{1}{2} por A+B.

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{2}B-B=1$$

Combina \frac{1}{2}B e -B para obter -\frac{1}{2}B.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=1$$

Ten en conta a segunda ecuación. Usa a propiedade distributiva para multiplicar \frac{1}{4} por 2A+B.

$$\frac{1}{2}A+\frac{1}{4}B-B=\frac{5}{2}$$

Combina \frac{1}{4}B e -B para obter -\frac{3}{4}B.

$$\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{2}$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=1,\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{2}$$

Resta \frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{2} de \frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B=1 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}B=1-\frac{5}{2}$$

Suma \frac{A}{2} a -\frac{A}{2}. \frac{A}{2} e -\frac{A}{2} anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-\frac{1}{2}B+\frac{3}{4}B=1-\frac{5}{2}$$

Suma -\frac{B}{2} a \frac{3B}{4}.

$$\frac{1}{4}B=1-\frac{5}{2}$$

Suma 1 a -\frac{5}{2}.

$$\frac{1}{4}B=-\frac{3}{2}$$

Multiplica ambos lados por 4.

$$B=-6$$

Substitúe B por -6 en \frac{1}{2}A-\frac{3}{4}B=\frac{5}{2}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar A directamente.

$$\frac{1}{2}A-\frac{3}{4}\left(-6\right)=\frac{5}{2}$$

Multiplica -\frac{3}{4} por -6.

$$\frac{1}{2}A+\frac{9}{2}=\frac{5}{2}$$

Resta \frac{9}{2} en ambos lados da ecuación.

$$\frac{1}{2}A=-2$$

Multiplica ambos lados por 2.

$$A=-4$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$A=-4,B=-6$$